De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Alternatieve afleiding abc-formule

Hallo!

Ik vroeg mij af of de volgende afleiding van de abc-formule ook juist is.
We beginnen natuurlijk met f(x) = ax2+bx+c, a$\ne$0 en proberen op te lossen f(x)=0
De afgeliede f'(x) = 2ax + b
Nu geldt voor alle x en dus ook voor de x-en waarvoor geldt f(x)=0, dat de afgeleide gelijk moet zijn aan een constante zeg k
We hebben dan dus: 2ax + b = k$\Leftrightarrow$x=(k-b)/2a
Dit vullen we in f(x)=0 in:
a(k-b)2/4a2 + b(k-b)/2a + c = 0
Noemers gelijk maken:
(k-b)2/4a + 2b(k-b)/4a + 4ac/4a = 0
Samenvoegen en haakjes wegwerken:
(k2 - 2kb + b2 + 2kb - 2b2 + 4ac)/4a = 0
Verder vereenvoudigen:
(k2 - b2 + 4ac)/4a = 0$\Leftrightarrow$k2 - b2 + 4ac = 0
En dus:
k=±√(b2 - 4ac)
Samen met x=(k-b)/2a levert dit:
x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a
En we hebben dus de abc-formule.

Nu vraag ik mij dus af of dit een juiste redenering is.
Met vriendelijke groet,
Ronald Bosma

Ronald
Student universiteit - woensdag 14 december 2005

Antwoord

dag Ronald,

De redenering is op zich juist, alleen speelt die afgeleide eigenlijk geen rol.
Je stelt de oplossing (als die bestaat) gelijk aan (k-b)/2a
Je vult dit in voor x, en stelt f(x) gelijk aan 0.
Je vindt dan een voorwaarde voor k: inderdaad, de abc-formule.
Het bedenken van de oplossing in de gekozen vorm zou een gevolg kunnen zijn van de afgeleide (met dank aan hk):
Het idee is kennelijk:
symmetrisch t.o.v. top,
top bepalen: 2ax+b=0 dus top bij x=-b/(2a),
Dan nulpunt bij x=-b/2a+r = x=(-b+k)/(2a)
en dan invullen.
Dus: op zich een aardige vondst, om op deze manier de abc-formule aan te tonen zonder kwadraatafsplitsen.
groet,

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 december 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3