WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Evenwichtsverdeling bij migratiematrix

Dit is een reactie op vraag 24491

Hoi, u vertelt hier dat de berekening dus wordt:
a = 0.94a + 0.04t
t = 0.06a + 0.96t.

Ik begrijp niet wat ik dan in mn GR in moet typen.
En waarom spreekt u van a(k+1)? En waar staat die k dan voor en die +1 ???

Snap er helemaal niks van!
wisfaq
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 9 september 2005

Antwoord

Hallo

We doen nog een poging om het je te doen begrijpen. Vergeet niet, voor deze oefening heb je je grafische rekenmachine NIET nodig! Mijn collega vermeldde het volgende:

a(k+1) = 0.94*a(k) + 0.04*t(k)
t(k+1) = 0.06*a(k) + 0.96*t(k)

We gaan er van uit dat er ieder jaar 6% van de automobilisten zich bekeert tot treinreiziger, en 4% van de treinreizigers automobilist wordt. De variabele k is namelijk het jaar waarin we zitten. We beginnen te tellen bij het jaar 0, dit is de begintoestand. We weten dat er elk jaar in het totaal 4000 000 mensen betrokken zijn. We gaan er vanuit dat er geen mensen dood gaan. We noemen t[0] (t[k] met k=0) het aantal treinreizigers in het begin (jaar 0). We noemen a[0] (a[k] met k=0) het aantal autobestuurders in het begin (jaar 0). Merk op dat zowel a[0] en t[0] niet gekend zijn. We weten wel dat a[k] + t[k] = 4000 000, voor elke k (in elk jaar).

Na één jaar zien we, door de gegeven verschuivingen, de volgende situatie:

aantal automob na 1 jaar = a[ 1 ] = 0.94*a[0] + 0.04*t[0]
aantal treinreiz na 1 jaar = t[ 1 ] = 0.06*a[0] + 0.96*t[0]

Na twee jaar zien we de volgende situatie:

aantal automob na 2 jaar = a[ 2 ] = 0.94*a[1] + 0.04*t[1]
aantal treinreiz na 2 jaar = t[ 2 ] = 0.06*a[1] + 0.96*t[1]

...

Na k jaar zien we de volgende situatie:

aantal automob na k jaar = a[ k ] = 0.94*a[k-1] + 0.04*t[k-1]
aantal treinreiz na k jaar = t[ k ] = 0.06*a[k-1] + 0.96*t[k-1]

Nu bestuderen we het aantal treinreizigers en automobilisten in de verre toekomst, wanneer vele jaren zijn verstreken. Het is namelijk zo dat, terwijl we die jaren, die heel ver weg leggen, naderen, het aantal automobilisten en het aantal treinreizigers bijna niet meer verandert. Dat is zeker. We moeten nu alleen nog zoeken hoeveel treinreizigers en automobilisten er in de verre toekomst zullen zijn!!!

Hoe kunnen we dit weten? In de opgave staat de volgende tip: "deze verdeling kun je ook direct doorrekenen door te bedenken dat in de evenwichtssituatie in elk knooppunt vd overgangsgraaf de instroom gelijk is aan de uitstroom". Men bedoelt hiermee, zoals ik in de vorige paragraaf zei, dat in de evenwichtssituatie (de jaren heel ver in de toekomst) het aantal automobilisten en het aantal treinreizigers bijna niet meer verandert. Voor grote k (de jaren heel ver weg) geldt dus:

(voor grote k)
a[k-1] @ a[k] = 0.94*a[k-1] + 0.04*t[k-1]
t[k-1] @ t[k] = 0.06*a[k-1] + 0.96*t[k-1]

Þ (logisch)

a[k-1] @ 0.94*a[k-1] + 0.04*t[k-1]
t[k-1] @ 0.06*a[k-1] + 0.96*t[k-1]

Dit zijn twee vergelijkingen die gelden in de evenwichtssituatie. Je moet ook de volgende vergelijking nog gebruiken: a[k-1] + t[k-1] = 4000 000. Je vindt a[k-1] & t[k-1] dan uit het volgende stelsel:

a[k-1] @ 0.94*a[k-1] + 0.04*t[k-1]
t[k-1] @ 0.06*a[k-1] + 0.96*t[k-1]
a[k-1] + t[k-1] = 4000 000

Je mag één van de 2 eerste vergelijkingen schrappen omdat beide vgl afhankelijk zijn. We schrappen de eerste, het stelsel wordt dan:

a[k-1] @ 0.94*a[k-1] + 0.04*t[k-1]
a[k-1] + t[k-1] = 4000 000

Hieruit vind je a[k-1] en t[k-1] voor k heel groot. Dit zijn dan ook de gevraagde antwoorden.

Groetjes

Igor

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 10 september 2005