WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Derdegraadsvergelijking oplossen

hoi,
ik ben bezig met mijn po en ik kom er niet uit.
ik moet de vergelijking x³+10x²=2⁵/₈ oplossen en ik kom met de fomule van cardano uit op W=9,772387936i. ik weet dus niet hoe ik verder moet gaan. de uitkomst moet rëel zijn en volgens mijn moet je de argument en de absolute waarde gebruiken om i weg te werken.

ik heb de volgende formules gebruikt:
p=b-¹/₃a²
q=-²/₂₇*10³+¹/₃ab-c
W=Ö(^q²/₄+^p³/₂₇)
x=-¹/₃a+³Ö(¹/₂q+w)+³Ö(¹/₂q-w)
jan
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 20 april 2005

Antwoord

Beste Jan,
Ik weet niet hoe je aan die formules komt, en je oplossing is inderdaad fout.
De methode van Cardano zoals deze beschreven wordt in content/Magic square.pdf gaat uit van een vergelijking in de vorm van ax³+bx²+cx+d=0 jouw vergelijking is te herschrijven naar:
x³+10x²+0x-2⁵/₈=0 ofwel:
a=1, b=10, c=0, d= -2⁵/₈
Volg de stappen in bovenstaand genoemd document en je zal keurig op een reel antwoord komen.

Het kan echter sneller door de rational root theorem te gebruiken deze zegt: “if a polynomial has a rational root, then the denominator of the root must divide the coefficient of the highest power term of the polynomial, and the numerator of the root must divide the constant term of the polynomial.”

Ofwel kijk naar de delers van je coefficient bij je hoogste macht: in dit geval is dat dus het coefficient bij x³, ofwel 1. En de delers van 1, zijn 1 en ook -1 moet meegenomen worden.
Vervolgens de delers van de constante dit is 2 5/8, maar helaas heeft dit natuurlijk geen delers. Wel kunnen we gewoon de vergelijking herschrijven door beide kanten met 8 te vermenigvuldigen en krijgen we de nieuwe vergelijking:
8x³+80x²-21=0
Nu is het coefficient van de hoogste macht dus 8 (de mogelijke noemers), en heeft als delers: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8
En de delers van de constante 21 (de mogelijke tellers) zijn dus 1, -1, 3, -3, 7, -7, 21, -21.

Ga nu dus alle combinaties af, ofwel:
1/1, 1/-1, 1/2, 1/-2 etc.
Door deze steeds in te vullen in de oorspronkelijke vergelijking.

M.v.g.
PHS

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 21 april 2005