De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

F(x)< 1/2?

Kunt u mij hiermee helpen?

gegeven is de functie f(x)=(2lnx)/(1+lnx)
De vraag luidt: Voor welke waarden van x is f(x) 1/2?
Ik weet dat voor f(x)=1/2 x=e1/3 geld. maar verder kom ik er niet uit.

jan-wi
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 23 maart 2005

Antwoord

Beste Jan-Willem,

We willen het volgende oplossen
2·ln(x)/1+ln(x) 1/2 Vermenigvuldigen we beide kanten met 2 krijgen we
4·ln(x)/1+ln(x) 1
Stel p=ln(x) dan staat er 4p/1+p 1.
Om van die noemer af te komen vermenigvuldigen we beide kanten met 1 + p, maar de ongelijkheid blijft alleen behouden als 1 + p positief is (het ongelijkheidsteken klapt om als 1 + p negatief is, zie onderstaande tekst), dus voor 1 + p 0 m.a.w. 1 + ln(x) 0 Û ln(x) -1 Û x Î 1/e,¥ (*).
De ongelijkheid wordt dan 4p 1 + p Û 3p 1 Û p 1/3 dus ln(x) 1/3 en dat geldt voor x Î 0,3Ö(e). Dus het oplossingsinterval is (combineer het laatste antwoord met (*)) x Î 1/e,3Ö(e).

Maar waarom zou 1 + p niet kleiner kunnen zijn dan 0 (want dan klapt het ongelijkheidsteken om)? Wel 1 + p 0 betekent p -1 dus ln(x) -1 dus voor x Î 0,1/e. Wat ik nu ga doen is niet helemaal netjes, maar het geeft een verklaring. e-¥ = 0 en 1/e = e -1 dus je zou je 0,1/e kunnen voorstellen als e-¥,e -1. Dus elke e-macht met een exponent kleiner dan -1 voldoet.
Ingevuld in de functie 2·ln(x)/1+ln(x) krijg je 2(-1-k)/1+(-1-k) waarbij k elk positief reëel getal kan zijn. Dan krijg je na wat rekenwerk 2·(1/k + 1) en aangezien k postief is geldt dat dit nooit kleiner dan 1/2 is, dus wordt niet aan de ongelijkheid voldaan.

Groetjes,

Davy.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 23 maart 2005



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3