WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Aantal cijfers

Ik ben me aan het voorbereiden op de JWO (Jongeren Wiskunde Olympiade) door het oplossen van de vragen van voorgaande edities. Ik heb vooral problemen met vragen over 'hoeveel cijfers telt dit product' of 'wat is het middelste cijfer van dit product'.

Vb;

Het aantal cijfers in 5¹⁹ · 8⁷ is??

Het is 19, 20, 25, 26 of 133

Vb 2; Wat is het middelste cijfer van het product 111 111 111 x 111 111 111??

1, 3, 5, 7, 9

Ik dacht E, maar ben hier opgekomen door gewoon een de vermenigvuldiging uit te schrijven. Er is geen formule voor toevallig?

Ook nog een vraagje met machten.

Als 4ⁿ · 4ⁿ · 4ⁿ · 4ⁿ = 2⁴⁴ dan is n gelijk aan

2, 11, 21, 43, 36

Ik was begonnen met 4 allemaal als 2² te schrijven, zodat er dus (2²)ⁿ staat, en dat 4 keer dus: 4·(2²)ⁿ...

Ben ik hier juist, en helpt het dat ik dit doe? Of is het allemaal nutteloos...

Machten:

Voor welke van de volgende waarden van n is 6,25 · 10 ⁿ de vierdemacht van een geheel getal?

2000, 2001, 2002, 2003, 2004.
625 is de vierdemacht van 5.
625 · 10 ^n-2 Per 4 nullen (10 000 - 100 000 000 - ...) is het een vierdemacht van 10.

Is dit de juiste weg van denken? en hoe moet ik nu verder?

Bedankt alvast!!!!!
Jocely
2de graad ASO - dinsdag 22 februari 2005

Antwoord

Hallo,

Bij die eerste zou je 8 kunnen schrijven als 2³, dan krijg je:
5¹⁹ * 2 ²¹ = 5¹⁹ * 2 ¹⁹ * 2² = 10¹⁹ * 4
Dat eerste geeft dus een 1 met 19 nullen (20 cijfers) en het feit dat je dat vermenigvuldigt met een 4 zal alleen van die eerste 1 een 4 maken, maar dus geen extra cijfer veroorzaken.
Een 4 met 19 nullen, dus 20 cijfers.

Voor die 2e ken ik niet direct een formule, maar met een beetje logica ben je er snel. 11² is immers al 121 en als je hetzelfde doet met een grondtal van meer enen, bvb 111² kun je het even onder elkaar schrijven, 111*111 is immers 111*(100+10+1) =
00111
01110
11100
-----
12321

Vrij snel zie je dat je bij zo'n kwadraten 'trapjes' krijgt, vanaf 1 omhoog en terug omlaag met als middelste en hoogste getal precies het aantal enen van het grondtal. In jouw geval dus 9...

Bij die volgende moet je gewoon wat eigenschappen van machten toepassen. Bij een product van machten met hetzelfde grondtal mag je immers de exponenten optellen, je hebt dus:
4⁴ⁿ = 2⁴⁴ = 2⁸ⁿ = 2⁴⁴ = 8n = 44 = n = 11/2
Is je opgave misschien verkeerd?

Ook bij die laatste ben je goed op weg, op het eerste zicht lijkt een macht 2000 logisch voor deelbaarheid door 4, maar zoals je zelf al aangaf zoek je een macht die van 6.25 ook nog 625 maakt, om deelbaar te zijn door 4. Je hebt dus 10² meer nodig, het juiste antwoord is dan 2002.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 22 februari 2005