WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijzen van ongelijkheid a+b+c=pi dus

hoi hoi hoi
kan iemand me een tip geven bij het oplossen van deze opgave:

a,b en c zijn hoeken van een driehoek. Bewijs

8sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)=Wortel(cos((a-b)/2)cos((b-c)/2)cos((c-a)/2))

ik weet al dat
8sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)=2(cosa+cosb+cosc-1) (I)
=8cos((a+b)/2)cos((b+c)/2)cos((c+a)/2) (II)

(I) Deze volgt uit het factoriseren van cosa+cosb+cosc-cos(a+b+c)
(II) deze volgt uit: als x/2=pi/2 -y/2 dat sin(x/2)=sin((pi/2-y/2)=cos(y/2)

alvast bedankt
Zuric
3de graad ASO - zondag 7 november 2004

Antwoord

Je vergelijking (I) kun je schrijven als
cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4sin(^a/₂)sin(^b/₂)sin(^c/₂)

De formule die je in (II) vermeldt pas je enkel toe op sin(^c/₂)

Vermits a+b+c = p geldt ook dat cos(c) = -cos(a+b)

Je krijgt dus
cos(a) + cos(b) - cos(a+b) = 1 + 4sin(^a/₂)sin(^b/₂)cos(^a+b/₂)

Pas in het linkerlid op de eerste twee termen de formule van Simpson toe.
Schrijf de derde term als cos[2.(^a+b/₂)] en gebruik de formule cos2a = 2cos²a-1.

Zonder nu de gemeenschappelijke factoren af en pas op wat tussen de haakjes overblijft opnieuw de formule van Simpson toe.

Je bekomt zo het rechterlid.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 7 november 2004