Beste Natalie,
y'(x) + y(x) = x + 1
Laten we beide leden vermenigvuldigen met een nog onbekende functie g(x), dus
y'(x)·g(x) + y(x)·g(x) = x·g(x) + g(x)
Laten we 't linkerlid herschrijven, zodat de productregel opvalt
y(x)·g(x) + g(x)·y'(x) = x·g(x) + g(x)
opdat (y(x)·g(x))' = y(x)·g'(x) + g(x)·y'(x) geldt, moet g(x) = g'(x) oftewel g'(x)/g(x) = 1, [g(x)¹0, is wel een oplossing] aan beide kanten integreren levert ln|g(x)| + c = x + d waarbij c en d integratieconstanten. Dus ln|g(x)| = x + f (waarbij f = d - c). Dus g(x) = ±ex+f.
We mogen zelf kiezen of we de positieve of negatieve waarde kiezen, en welke waarde we voor f kiezen. Laten we het gemakkelijk houden en g(x) = ex kiezen.
(y(x)·ex)' = xex + ex
Beide leden integreren naar x levert
y(x)·ex + g = ò(xex + ex)dx
y(x)·ex + g = xex - ex + ex + h (g,h Î 
).
Om òxexdx te bepalen moet je gebruik maken van partieel integreren, die regel gaat als volgt òf(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) - òf'(x)·g(x)dx waarbij f(x) = x en dus f'(x) = 1 en g'(x) = ex en g(x) = ex.
y(x) = xex + p/ex waarbij p = h - g.
y(x) = x + p/ex
Ter controle y'(x) = 1 + p·(-1)e-x dus y'(x) = 1 - pe-x
y'(x) + y(x) = 1 - pe-x + x + pe-x = x + 1. Klopt!
Groetjes,
Davy.
