WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Binomium van Newton

Wat is het verband tussen het binomium van newton en de piramide van Pascal? Graag ook een formule!
mariek
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 5 april 2002

Antwoord

Met het binomium van Newton kun je min of meer geautomatiseerd de uitkomst opschrijven van (a+b)² of (a+b)³ of (a+b)⁴ of (a+b)⁵ enzovoort.

Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar (a+b)⁵.
Als je dat helemaal stap voor stap uitrekent, dan krijg je de volgende vorm:
1.a⁵+5.a⁴.b+10.a³.b²+10.a².b³+5.a.b⁴+1.b⁵

Let je nu alleen even op de letters, dan zie je daar duidelijk een regelmatig patroon in: van links naar rechts zie je namelijk steeds één a verdwijnen en er komt steeds één b voor terug.
Maar nu de getallen die er steeds voorstaan? Welnu, die kun je nou precies vinden in de driehoek van Pascal.
Als je de driehoek opschrijft, helemaal bovenaan startend met het getal 1, dan zie je op de zesde rij van boven precies de getallen staan die je ook in (a+b)⁵ tegenkwam.
Pascal toonde aan dat dit geen toeval was, en daarmee was de weg vrij om van willekeurige machten van (a+b) vrij vlot de hele uitkomst op te schrijven.
In onze database zijn al meer beantwoorde vragen over Pascal te vinden. Kijk er eens naar!
Zie Binomium van Newton

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 5 april 2002