WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Diophantische vergelijkingen

Beste meneer/mevrouw,

Ik heb de volgende theorie die ik graag wil bewijzen:

x²-4*(y²)=n (1)

is oplosbaar in gehele getallen x, y en n ook een geheel getal, dan en slechts dan als óf n=1(mod4) óf n=o(mod4) en n is niet congruent met 8 modulo 16.

Ik heb zelf het volgende, maar ik weet niet of wat ik tot nu toe heb correct is, maar het is zeker niet compleet.

1. Het bewijs van links naar rechts

Stel x²-4y²=n ,is oplosbaar voor gehele getallen x en y.Je moet dus nagaan voor welke n (1) oplosbaar is.Kijk eerst modulo 4. Want je weet kwadraten zijn congruent 0 of 1 modulo 4. Dus x²=0,1(mod4) en 4y²=0(mod4),en hieruit volgt dat

n=x²-4y²=0(mod4) of n=x²-4y²=1(mod4).

Dus als n=x²-4y² dan is n=0(mod4) of n=1(mod4).
En als n=2(mod4) of n=3(mod4) dan heeft (1) geen oplossing.

Stel nu dat n niet congruent is met 2 of 3 modulo 4. En stel n=x²-4y². Dan n=(x+2y)(x-2y).
Probeer of er x en y bestaan met x+2y=n en x-2y=1.
Dan x=(n+1)/2 en y=(n-1)/4. Bekijk nu voor welke n dit mogelijk is.
x=(n+1)/2 is een geheel getal dus n moet oneven zijn;
n=1(mod2)
y=(n-1)/4 , schrijf n=4y+1, dus n=1(mod4).

Vraag1. Wat kan ik nu hieruit voor n concluderen?Dat n oneven moet zijn én n=1(mod4)?
En hoe gaat het bewijs nu verder van links naar echts?

Vraag2.Waaruit volgt dat n en 8 niet congruent zijn modulo 16?

2. Het bewijs van rechts naar links.

Nu moet er aangetoond worden dat (1) oplosbaar is als
n=1(mod4) óf n=o(mod4) en n is niet congruent met 8 modulo 16.
Hier weet ik niet precies wat ik moet doen.

Als n=0(mod4) dan hebben we n=x²-4y²=0(mod4),
x²=4y²=0(mod4).En x²=0(mod4)is oplosbaar voor x=2(mod4).

Als n=1(mod4) dan x²-4y²=1(mod4), x²-1=4y²=0(mod4).En x²=1(mod4) is oplosbaar voor x=1,-1(mod4), x=3,-3(mod4).

Vraag3. Wat volgt nu uit: n en 8 niet congruent mod 16?
Wat kan ik nu in het algemeen concluderen?

Vriendelijke groeten en alvast bedankt,

Viky
viky
Student hbo - zondag 28 maart 2004

Antwoord

Dag Viky,

Je gebruikt goede elementen, maar niet altijd op de juiste plaats...

1. Je weet dat (1) oplosbaar is, dus is inderdaad
x²-4y²=0 of 1 (mod4), dus n=0 of 1 (mod4)

In deze richting moet je dan alleen nog bewijzen dat n niet 8 (mod 16) kan zijn. Daarvoor kijk je naar de waarde van x² mod 16: dit zijn enkel de waarden 0,1,4,9 (schrijf de reeks kwadraten mod 16 maar eens uit!). En 4y² is dus enkel 0 of 4.

Dus x²-4y² kan volgende waarden mod 16 aannemen:
0-0, 0-4, 1-0, 1-4, 4-0, 4-4, 9-0, 9-4.
En 8 zit hier niet tussen (mod 16).

2. Nu gaan we ervan uit dat n=0 of 1 (mod4) maar niet 8 (mod16)

Hier heb je dat idee van die ontbinding nodig:
A. n=1 mod 4.
x²-4y²=(x-2y)(x+2y)=n
Probeer dit zo te schrijven dat x-2y=1, x+2y=n.
Dus inderdaad x=(n+1)/2, y=(n-1)/4
Vermits n=1 mod 4 zijn zowel x als y geheel en vormt dit dus een oplossing.

B. n=0 mod 4 maar niet 8 mod 16.
x²-4y²=(x-2y)(x+2y)=n
De vorige ontbinding (in 1 en n) zal nu niet lukken omdat dit geen gehele waarden voor x en y oplevert.
Probeer daarom eens x-2y=2, x+2y=n/2
Dan x = n/4 + 1 , y = n/8 - 1/2
x is hier steeds geheel, y is zeker geheel als n geen achtvoud is!

Wat als n wel een achtvoud is? Dan zitten we in het geval n=0 mod 4, n¹8 mod 16, n=0 mod 8.
Of korter opgeschreven (ga maar na): n=0 mod 16.
Probeer de ontbinding x+2y=n/4 en x-2y=4 en je zal zien dat x en y gehele getallen zijn.

Dus op deze manier heb je oplossingen x en y geconstrueerd in alle gevraagde gevallen.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 29 maart 2004

Re: Diophantische vergelijkingen