WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Eliminatie

Beste Wisfaq,

mijn excuses voor de vorige onduidelijke vraage ivm eliminatie.

Het concrete voorbeeld waar ik in vast zit is het volgende:

S=
4x-2y=p
2x+y=q
3x-3y=r

We elimineren x en y uit de vgl en bepalen de oplossingsvoorwaarde voor het stelsel.

Kies bijvoorbeeld de eerste en de tweede vergelijking

x= [p, -2; q, 1]/ [4, -2; 2, 1]

y= [4, p; 2, q] / [4, 2; 2, 1]

Deze oplossing moet ook voldoen aan de derde vergelijking:

3. det[p, -2; q, 1] -3. det[4, p; 2, q] -r. det[4, -2; 2, 1]
Hier begint het al: de tweede factor (hier -3. [...]) moet toch juist positief zijn? en het laatste ook positief?

We kunnen dit ook schrijven als
det[4, -2, -p; 2, 1, -q; 3, -3, -r]=0

De determinant noemt men de eliminant van het stelsel S.
Hoe wordt deze determinant gevormd?

Ik hoop dat mijn vraag deze keer al wat duidelijker was?
Zou iemand me zo snel mogelijk willen verder helep?

Alvast bedankt!

Vele groeten, Anne

Anne
3de graad ASO - zondag 25 januari 2004

Antwoord

Als ik het goed begrepen heb, is dit een een 3x2 stelsel i.e. 3 vergelijkingen en 2 onbekenden op te lossen naar x en y.

Je neemt de eerste twee vergelijkingen:
4x-2y=p
2x+y=q
en je merkt op dat de coëfficiëntenmatrix van dit 2x2 stelsel regulier is. I.e. de determinant([4,-2;2,1])=8¹0.
Dus dit stelsel is een stelsel van Cramer. Vandaar je oplossing voor x en y.

Vanwaar komt nu die bijkomende voorwaarde? Je hebt een 3x2 stelsel gekregen (als opgave) en de x en y die je gevonden hebt zijn de oplossingen van het 2x2 stelsel dat ontstaat door geen rekening te houden met de derde vergelijking.
Maar de oplossing moet ook aan de derde vergelijking voldoen.
dus: 3x-3y=r met x=det([p, -2; q, 1])/det([4, -2; 2, 1])
y=det([4, p; 2, q])/det([4, -2; 2, 1])
Vul deze oplossing in de vergelijking en vermenigvuldig met de noemer uit de oplossing voor x en y:
3*det([p, -2; q, 1])-3*det([4, p; 2, q])=r*det([4, -2; 2, 1])
Û3*det([p, -2; q, 1])-3*det([4, p; 2, q])-r*det([4, -2; 2, 1])=0
(alles naar zelfde lid)
Û-3*det([-2,p;1,q])-3*det([4, p; 2, q])-r*det([4, -2; 2, 1])=0
(kolommen wisselen)
Û 3*det([-2,-p;1,-q])-(-3)*det([4, -p; 2, -q])-r*det([4, -2; 2, 1])=0
(bepaalde kolommen vermenigvuldigen met -1)
Dit is nu de (Laplace)ontwikkeling van een determinant volgens de derde rij. Bij reconstructie krijg je dan
det([4,-2,-p; 2,1,-q; 3,-3,-r])=0.
Dat je dit effectief krijgt, kan je eenvoudig nagaan door deze determinant terug te ontwikkelen volgens de derde rij.

Wat betekent dit?
Als je terugkijkt naar je oorspronkelijke stelsel en de uitgebreide matrix A_b neerschrijft: nl:
A_b=
[[4 -2, p]
[2 1, q]
[3 -3, r]]
dan moet de rang van A_b gelijk zijn aan de rang van A (=de coëfficiëntenmatrix).
Met
A=[[4 -2]
[2 1]
[3 -3]]
De rang van A=2 want det([4,-2;2,1])¹0. Dus moet de rang van A_b ook gelijk zijn aan 2. Dit betekent in het bijzonder dat de determinant van A_b moet gelijk zijn aan nul.Zoniet, dan is de rang(A_b)=3.
En dan krijg je een strijdig stelsel.
dus: det([[4 -2 p],[2 1 q][3 -3 r]])=0
of mits de derde kolom met -1 te vermenigvuldigen (dan verandert de determinant van teken, maar aangezien die toch nul is, veranderen we niets aan onze uitdrukking):
dus: det([[4 -2 -p],[2 1 -q][3 -3 -r]])=0
Dus we eisen dat det(A_b)=0.

Besluit:
de eliminant ontstaat uit het feit dat je oplossing van de eerste twee vergelijkingen ook moet voldoen aan de laatste vergelijking.
Praktisch:
Schrijf je stelsel in matrix notatie, door alle x'n, y's en gelijkheidstekens te laten vallen. De determinant van deze vierkante matrix die overblijft is opnieuw de eliminant.

Hopelijk is deze uitleg een beetje duidelijk?

Mvg,

Els

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 26 januari 2004