WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Functie zoeken van opgegeven differentiaalvergelijkingen

Nogmaals bedankt voor het rappe antwoord van de vorige vraag.Nu zit ik met het volgende probleem : ik moet de functie f(x) = y1(x) met x0 en y2(x) met x0 bepalen, waarbij y1(x) en y2(x) oplossingen zijn van de respectievelijke differentiaalvergelijkingen
y''1 - 2y'1 + 5y1 =0 en y'2 + y2 = (e tot de macht -x) en waarbij f(x), f'(x) en f''(x) continu zijn in elk punt x van

het antwoord zou moeten zijn :
y1(x) = (1/2) (e tot de macht x) cos2x
y2(x) = (e tot de macht -x)(x+(1/2))

Ik heb de eerste differentiaalvergelijking berekend m.b.v de karakteristiek vergelijking en bekom voor
y(x) = (e tot de macht x)(C1cos2x + C2sin2x)
Voor de andere differentiaalvergelijking bekom ik
y(x) = (e tot de macht -x)(x + C3)

Kunnen jullie mij helpen om, met de bijkomstige voorwaarden van hierboven in de opgave vermeld, C1 en C2 enC3 te berekenen en zo dus tot het antwoord van y1(x) en y2(x) te brengen

Dank u wel voor uw hulp

Peggy

Peggy
Student universiteit België - zaterdag 24 januari 2004

Antwoord

Hallo Peggy,

In de oplossingen voor y₁ en y₂ staan nog drie constanten, dat zijn de te bepalen onbekenden. Bovendien heb je drie voorwaarden, namelijk de continuïteit van f, f' en f".

Die continuïteit is gegarandeerd in elk punt van ]-¥,0[ en ]0,+¥[, maar niet in het punt nul omdat het functievoorschrift daar wijzigt van y₁ naar y₂. De voorwaarden voor het punt 0 zijn dat de waarde van f (en f' en f") dezelfde moet zijn of je nu van links afkomt (dus voor y₁) of van rechts (dus voor y₂).

Dus: y₁(0)=e⁰(C₁ cos(0)+C₂ sin(0)) = C₁
En y₂(0)=e^-0(0+C₃) = C₃

Besluit: C₁=C₃ (1)

Voorwaarde voor f':
y₁'=e^x(2C₂cos(2x)-2C₁sin(2x)+C₁cos(2x)+C₂sin(2x)) (productregel)
y₁'(0)=e⁰(2C₂+C₁)
Analoog: y₂'(0)=e^-x(1-x-C₃)=1-C₃

Besluit: 2C₂+C₁=1-C₃ (2)

En dan doe je nog eens hetzelfde voor de tweede afgeleide. Dit levert je een stelsel van drie vergelijking op in de drie onbekenden, wat makkelijk oplosbaar zou moeten zijn.

En die oplossing zou dus moeten zijn:
C₁=1/2
C₂=0
C₃=1/2

Dat klopt al met de vergelijkingen (1) en (2), dus dat ziet er goed uit...

Groeten,

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 25 januari 2004