De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Zoek veelvoud van 5100 dat geen nullen bevat

Bewijs dat er een veelvoud van 5100 bestaat dat in de decimale schrijfwijze geen nul bevat.

naam
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 8 december 2003

Antwoord

Hoi,

Deze vraag loopt op Pythagoras nog tot 15 december 2003. Daarom een kleine vertraging in de publicatie van mijn antwoord.

Een getal n bestaat uit m decimale cijfers {ci:i=0..m-1}, wanneer n=sum(ci.10i:i=0..m-1).
We leiden hieruit af dat 1.10m-1n10. 10m-1-1, zodat m-1log(n)m en dus m=int(log(n))+1. Zo weten we alvast dat 5100 uit 70 cijfers bestaat.
In Excel bijvoorbeeld kan je de cijfers van de opeenvolgende machten van 5 één na één berekenen. Net zoals je met de hand dat op papier zou doen. Zo vind je dat 5100 inderdaad een aantal nullen bevat, meer bepaald 12 op posities 3, 7, 13, 17, 18, 21, 23, 29, 53, 57, 62 en 64. Maar dat kunnen we verder niet echt gebruiken...

We definiëren: ai=5i voor i=0,1,… en
bi=5100.2i= 5100-i.10i=a100-i.10i voor i=0,1,..,100 en bi=10i voor i=101,102, …
Ze ziet onmiddellijk dat ai nooit op 0 eindigt en dat 5100 een deler is van elke bi. Daarom is elke bi van de vorm [..ci+1 ci00..0] waarbij ci verschilt van 0. Elke bi eindigt dus op precies i cijfers 0. We tonen nu aan hoe we de termen van de rij bi kunnen gebruiken om de 0-gaatjes in de decimale notatie van 5100 weg te werken. Het zijn dus de natural born 0-killers…

Voor een getal n dat minstens één 0 bevat in de decimale notatie {ci:i=0..m-1}, kunnen we p(n)=min({i:ci=0}) definiëren. Dit is dus de positie van het eerste 0-cijfer.
We construeren nu de rij:
n0=5100
n1=n0+bp(n0)
n2=n1+bp(n1)

ni=ni-1+bp(nn-1)


Elke term ni-1 van de rij heeft een eerste 0 op positie p(ni-1). Omdat bp(ni-1) op p(ni-1) cijfers 0 eindigt, erft ni de laatste zoveel cijfers van ni-1. Op de plaats waar 0 stond, heeft ni een cijfer verschillend van 0.
Bovendien geldt dat 5100 een deler is van elke term ni. Als we een term nk vinden die geen enkel cijfer 0 bevat, is dit het gezochte veelvoud.
Bemerk dat wanneer we termen bi toevoegen met i100 kan het gebeuren dat we extra 0-en toevoegen op hogere posities. Het volstaat daarom ook niet om zomaar de termen bi toe te voegen waar ci=0 in 5100. Voor i100 is de toevoeging van een bi wel een precisie-operatie: enkel het i-de cijfer wordt op 1 gezet, zonder andere cijfers te beïnvloeden. Het aantal cijfers van de termen van de rij ni kan enkel groeien wanneer we termen b p(ni-1) toevoegen met p(ni-1) 100. Uit de constructie van de rij blijkt dat p(ni-1) geheel en strikt stijgend is. Het aantal cijfers van de termen ni kan dus niet blijven groeien en daarom is ook de rij ni naar boven begrensd. Ze is uiteraard strikt stijgend en daarom heeft ze ook een limiet.
Praktisch kan je inzien dat we opeenvolgende cijfers 0 wegwerken door een gepaste 0-vulling toe te passen. Voor cijfers op posities tot en met 100 kunnen we cijfers bijmaken en ook 0-cijfers op hogere posities. Maar we blijven verder werken, tot we die eerste 101 cijfers 0-vrij hebben. Als er dan nog cijfers 0 staan op posities 100, kunnen we die met precisie-vullingen te lijf gaan, zonder complicaties op de lengte van het getal of het aantal hogere cijfers.

Groetjes,
Johan

PS: Collega CL gaf de tip dat je op Russische Wiskunde Olympiades iets gelijkaardigs kan vinden. Ze gebruiken andere 0-bestrijders en gaan op een andere (geniale) manier met de overloop over 101 cijfers om.

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 16 december 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3