WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Punten van een oppervlakte M waarvan raakvlak a // met b

gegeven:
M : x² - 4xy + y² - z² = 3
a : a // b
b : 2x - 4y - z = 0

Mijn probleem is nu dat M een term heeft z². Als ik de vgl van M in functie van z schik dus z = ..., maar nu staat er dus z² = ... . Normaal als dit niet zo was zou ik de afgeleide van M volgens x en y opstellen:
x: 2x - 4y
y: -2y + 2x

en hier de rg van b invullen, dus:
x: 2x - 4y = 2
y: -2y + 2x = -4

En na het vinden van x en y, deze invullen in M om zo z te vinden.
Hier lukt het niet daar ik zit met een z².
Wat is het probleem?

Frank

Frank
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 11 november 2003

Antwoord

Ik weet niet of je bekend bent met het begrip gradiënt, maar dat is in dit geval wel het kernbegrip.
Beschouw M als het oppervlak waar de functie
f(x,y,z) = x² - 4xy + y² - z²
de (constante) waarde 3 aanneemt.
(Zo'n oppervlak heet ook wel een potentiaaloppervlak).
De gradiënt van f in een punt P van het oppervlak M is altijd loodrecht op het raakvlak door P aan M.
De gradiënt is de vector van alle partiële afgeleiden van f.
In dit geval dus:

Nu zoek je de punten P waarvan het raakvlak evenwijdig is aan b, ofwel: de gradiënt is een veelvoud van de normaalvector van b.
Bedenk verder, dat P op M moet liggen.
Nu zou het verder moeten lukken.
succes.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 12 november 2003