De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Moeilijke limiet

Ik ben op zoek naar de oplossing van volgende limiet:

Limiet van n naar oneindig van volgende uitdrukking:

((3n/2)·a + Som van x=1 tot n/2 van (3^((n/2)-x))))/(Produkt van y=2 tot oneindig van (2^(((y-1)·n)/2y))

Kan iemand mij helpen aub???

Erik D
Ouder - woensdag 8 oktober 2003

Antwoord

TELLER

= 3n/2.a + $\sum$x=1n/2 [ 3(n/2-x) ]

= 3n/2.a + 3(n/2)$\sum$x=1n/2 [ 3-x ]

De som is nu ongeveer een eindige meetkundige reeks, namelijk als je eerst deelt door de eerste term. Je bekomt uiteindelijk dat

TELLER = (a+1/2).(√3)n - 1/2

Voor de noemer vinden we achtereenvolgens dat

NOEMER

= $\prod$y=2$\infty$ [ 2n(y-1)/(2y) ]

= 2 [ n $\sum$y=2$\infty$ [ (y-1)/(2y) ] ]

= 2 [ n ($\sum$y=2$\infty$ [ y/(2y) ]) - ($\sum$y=2$\infty$ [ 1/(2y) ]) ]

Er geldt dat voor de meetkundige rij

1+x+x2+... = 1/(1-x)
x2+x3+... = 1/(1-x) - 1 - x (1)

en door afleiding

1+2x+3x2+... = 1/(1-x)2
x+2x2+3x3+... = x/(1-x)2
2x2+3x3+... = x/(1-x)2 - x (2)

Beide sommen in de uitdrukking voor de noemer volgen nu door in (1) en (2) x=1/2 te stellen. Uiteindelijk bekom je het leuke resultaat dat

NOEMER = 2n

Bekijken we nu de combinatie van teller en noemer, dan kunnen we concluderen dat, aangezien √3 $<$ 2, de limiet nul zal zijn, onafhankelijk van de waarde van a (het was leuker geweest indien het grondtal in de teller groter was geweest dan 2, dan hadden we een uitzondering moeten maken voor het geval a=-1/2)

Als er iets onduidelijk is, zeg je het maar...

PS: Ik vermoed dat deze oefening een aardigheidje is van iemand, en echt geen achtergrond heeft he? Of wel?

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 oktober 2003
 Re: Moeilijke Limiet 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3