De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Re: Grafieken op een weg met stelling van Pythagoras

 Dit is een reactie op vraag 14625 
Nee zo niet :-)

Je tekent het verder goed, maar als de afstand van de oorsprong naar punt A verandert, verandert ook de afstand van de oorsprong naar punt B. Als de auto dus in de oorsprong staat. is de afstand Ooorsprong-A √32+12
Druk nou de afstand Oorsprong-B uit in Oorsprong-A
Dus Oorsprong-B(=y)= ···lastige formule met als X,Oorsprong A···

Het is dus niet zo simpel als je denkt!

Mystic
Iets anders - vrijdag 26 september 2003

Antwoord

Hoi,

Bij nader inzien is je probleem het volgende. Je beweegt volgens de X-as in een punt p(t,0) voor t>=0. De afstand tot a(3,1) noem je x, de afstand tot b(5,-2) is y. Je wil de plot van (x,y) ifv t.

x=sqrt[(3-t)2+(1-0)2]=sqrt[t2-6t+10] (1)
y=sqrt[(5-t)2+(-2-0)2]=sqrt[t2-10t+29] (2)

Dit is een parametrische kromme. Je vindt een schetsje in volgend plaatje.

q14651img1.gif

Zoals je ziet is het geen functie in functie van x, maar dit kon je intuïtief al verwachten: er is (soms) meer dan 1 positie op de X-as waar je op een bepaalde afstand y van b staat en dan sta je ook op verschillende afstanden x van a (namelijk waar d(p,b)<=d(b,0) - aan jou om die t-conditie op te stellen)... In het beste geval kan je een impliciete vergelijking in x en y of 2 expliciete functies van y naar x opstellen, maar dit is volgens mij een puur academische oefening...

Je vindt de split door dx/dt=0 op te lossen, dit geeft je de t voor de linkergrens. Fysisch kan je het ook inzien: je komt dichtst bij a wanneer je je in de projectie op de weg bevindt, dus voor t=3. De afstand is dan inderdaad 1. Praktisch zou je dus 2 functies kunnen expliciteren: één voor 0<=t<=3 en een andere voor t>3.

Concreet kan je (1) en (2) kwadrateren en van elkaar aftrekken. Zo vallen die termen in t2 weg en kan je t als functie van x en y schrijven. Dit plug je dan in (1) of (2) en je kwadrateert de vierkantswortels weg. Dan hebben we al een impliciete 4de graadsvergelijking in x en y (eigenlijk in x2 en y2). Bekijk dit als vierkantsvergelijking in y2 en je kan dan 2 functies opstellen die y2 en dus y uitdrukken in functie van x. Het leuke rekenwerk laat ik aan jou...

Strikt genoemen liet jij t enkel tot 5 lopen. Dit is het punt waar de curve dichtst tegen de X-as loopt. Eigenlijk kan je beter x naar y expliciteren. Dit kan je dan in 1 functie schrijven. De berekening is hetzelfde, behalve dat je een vierkantsvergelijking in x2 oplost en t<=5 veronderstelt.

Groetjes,
Johan

andros
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 26 september 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3