WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Optellingsformules

Ik zit vast bij de volgende opgave:

Bewijs, voor elke x waarvoor de vermelde goniometrische gatallen bestaan:

tg(45°+x)-tg(45°-x)= (4 sin x.cos x):(cos²x-sin²x)

Alvast bedankt

evelie
2de graad ASO - woensdag 17 september 2003

Antwoord

Dag Evelien,

In dat rechterlid zouden teller en noemer je bekend moeten voorkomen: de teller lijkt verdacht veel op sin(2x), en de noemer op cos(2x). Dat rechterlid is dus eigenlijk gewoon: 2sin(2x)/cos(2x) = 2tg(2x)

Je kan de somformule voor de tangens gebruiken om het linkerlid te herschrijven.
tg(45+x) = ^tg45+tgx/_1-(tg45.tgx)
waarbij tg45 = 1, dus tg(45+x) wordt ^1+tgx/_1-tgx.
Voor tg(45-x) gebruik je dezelfde formule, dat geeft als resultaat ^1-tgx/_1+tgx
Het linkerlid wordt op die manier:
^1+tgx/_1-tgx - ^1-tgx/_1+tgx
Schrijf op één noemer, er komt:
^{(1+tgx)²-(1-tgx)²}/_{(1+tgx)(1-tgx)}
= ^4tgx/_1-tg²x
En dit herken je als 2tg(2x), en dat was dus ook het rechterlid, waarmee de gelijkheid bewezen is.

Mocht je nu die dubbelehoekformules niet herkend hebben, is er nog geen probleem: je hebt dan het linkerlid als een breuk a/b kunnen schrijven, en ook het rechterlid als c/d, je moet dan nog bewijzen dat ad=bc, en als je dat uitwerkt kan dat geen problemen opleveren, het is alleen wat properder op deze manier.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 17 september 2003