WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Tweede orde

Dit is een reactie op vraag 13276

Dank je wel.
Ik ga er niet te veel tijd aan besteden, opmdat ik binnen een uurtje naar Spanje vertrek, maar toch een poging.
Als a[n]pn + ... + a[0] = 0 (kun je daar een beetje meer uitleg over geven?) ontbindbaar is tot een vgl. van tweede graad

Serge
3de graad ASO - maandag 4 augustus 2003

Antwoord

Misschien brengt een voorbeeld wat duidelijkheid. Wat is de algemene oplossing van de homogene derde-orde differentiaalvergelijking y⁽³⁾-6y⁽²⁾+11y⁽¹⁾-6y=0?

Bepaal de nulpunten van de zogeheten karakteristieke veelterm

z³-6z²+11z-6=0 - z=1 of z=2 of z=3

Elk nulpunt komt nu overeen met een exponentiele term. De oplossing wordt zo

y(x) = Aexp(x)+Bexp(2x)+Cexp(3x)

waarin A,B en C willekeurige constanten zijn. Voor meervoudige wortels met multipliciteit m, komt er voor nog een veelterm voor van de (m-1) de graad, een beetje als veralgemening van de constanten in het vorige voorbeeld. In

y⁽³⁾-6y⁽²⁾+12y⁽¹⁾-8y=0

is z=2 een drievoudig nulpunt van de karakteristieke vergelijking. De algemene oplossing wordt dan gegeven door

y(x)=(Ax²+Bx+C).exp(2x)

Over het vraagje dat ik stelde: als k en -k oplossingen zijn van de karakteristieke vergelijking, die dus van de volgende vorm moet zijn: (z²-k²)(z-r), met r een of ander getal naar keuze. Werk dit uit, en vervang machten van z door afgeleiden van y om de differentiaalvergelijking te bekomen.

Prettige zweetvakantie!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 augustus 2003

Re: Re: Tweede orde