WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kwadrieken

Beschouw de kwadriek å die tov eenorthonormaal assenstelsel de vergelijking 4x²-9y²-2z+1=0 heeft.

a) bepaal het raakvlak in het punt (1,1,-2)
b) bepaal de beschrijvenden door dat punt
c) bewijs dat å de mkpl is van de punten van de rechte die steunen op de twee rechten:
/2x-3y=0
\2z-1=0
en
/2x-z=0
\3y-z+1=0

en parallel zijn met het vlak 2x+3y=0

a) is volgens mij wel gelukt.
bij b) moet je ofwel het raakvlak snijden met de kwadriek (dat lukt niet echt), en er bestaat nog een andere manier. Ik had ze graag allebei even gehad als dat kan...
c) dat lukte helemaal NIET.

Wil er mij iemand even helpen.

(PS: dit was een examenvraag die ik niet echt tot een goed einde heb kunnen brengen)
Koen M
Student universiteit België - vrijdag 11 juli 2003

Antwoord

Dag Koen,

Ik hoop dat je het examen desondanks doorgekomen bent.
Ik weet niet of mijn methode de meest voor de hand liggende is (het is lang geleden dat ik met kwadrieken gewerkt heb), maar ik hoop dat je hem kunt volgen.
Je zult als vergelijking van het raakvlak gekregen hebben:
8x - 18y - 2z = -6
Deze snijden met de kwadriek, en de z elimineren, levert de vergelijking:
4x² - 8x - 9y² + 18y = 5
kwadraatafsplitsen geeft:
4(x-1)² - 9(y-1)² = 0, en dit zijn twee vlakken, namelijk:
2(x-1) = 3(y-1)
en
2(x-1) = -3(y-1)
die samen met het raakvlak de beschrijvenden vormen.
Ik weet niet welke andere methode je zou kunnen gebruiken, of je zou alvast gebruik moeten maken van wat je bij c. moet bewijzen: daaruit kun je in elk geval een van de beschrijvenden halen, door te bedenken dat deze beschrijvende parallel is met de snijlijn van het raakvlak en het vlak V: 2x + 3y = 0. Maar nogmaals: ik weet niet of dat de bedoeling is.

Dan vraag c.
Ik heb het als volgt gedaan, (maar misschien kan het veel mooier):
Ik maak van beide 'steunrechten' een parametervoorstelling.
Vervolgens neem ik de algemene vergelijking van een vlak parallel met V:
2x + 3y = p
Ik bereken de snijpunten S en T van de steunrechten met dit vlak, uitgedrukt in p.
Van de lijn ST maak ik weer een parametervoorstelling, met dus twee parameters p en q.
Deze parametervoorstelling vul ik in de vergelijking van de kwadriek in, en na enig rekenwerk blijkt dit te kloppen voor alle waarden van p en q.
Hiermee is dan aangetoond, dat alle punten op de genoemde rechten op de kwadriek liggen. Andersom: dat elk punt van de kwadriek ook op zo'n rechte ligt, heb ik nog niet aangetoond, maar dat kun je denk ik zelf wel.
De uitwerking:
parametervoorstelling van de eerste steunrechte:
(3l, 2l, ¹/₂)
snijpunt met vlak:
6l + 6l = p, dus l = ^p/₁₂
S = (^p/₄, ^p/₆, ¹/₂)
parametervoorstelling van de tweede steunrechte:
(2+3m, 1+2m, 4+6m)
snijpunt met vlak:
4 + 6m + 3 + 6m = p, dus m = ^(p-7)/₁₂
T = (¹/₄ + ¹/₄p, -¹/₆ + ¹/₆p, ¹/₂ + ¹/₂p)
parametervoorstelling van ST:
(¹/₄p + ¹/₄q, ¹/₆p - ¹/₆q, ¹/₂ - ¹/₂pq)
invullen in de kwadriek levert inderdaad op: 0=0.
groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 13 juli 2003