WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Integreren en primitieven vinden

Dit is een reactie op vraag 13013

Dank u voor uw antwoord,

Ik had een vraag over de substitutie methode denkt u dat het mogelijk om me dat te leren ?Wat is de substitutie methode eigenlijk precies ? Dan heb ik dat alvast geleerd, ik ging namelijk omdat er technische problemen waren met wisfaq naar dr. Math en daar kreeg ik als antwoord om de substitutie methode te gebruiken maar ja die ken ik nog niet...

Zou u dan de volgende sommetjes als voorbeeld nemen ? die heeft u namelijk al eerder geprimitiveerd,maar ik ben niewsgierig hoe dat met de substitutie methode gaat.

g(x)=2/(x-7) i(x)= -3/(ln10.x)

Als het te ingewikkeld is om het allemaal uit te leggen,dan snap ik dat.

Nogmaals bedankt voor u hulp bij mijn eerdere vraag.

P.S (ik had nog een foutje gemaakt, ik schreef mr dickens die ik wilde bedanken maar het moest zijn:

Dick Klingens , mijn excuses)

Ik zou erg op prijs stellen als u me dat kan leren,
Tim
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 7 juli 2003

Antwoord

Het is geen moeilijke methode, substitutie. Als je begrijpt hoe de kettingregel werkt bij differentiëren dan zul je geen problemen ondervinden bij de substitutiemethode bij het integreren. Je moet namelijk zien welke functie 'in' de andere functie zit, en een hulpvariabele kiezen waaraan je functie gelijkstelt, waardoor er een nieuwe integraal ontstaat die gemakkelijker is te integreren, en achteraf schrijf je in plaats van de hulpvariabele de oorspronkelijke functie.
Ik kan me voorstellen dat het bovenstaande nogal vaag klinkt, maar ik zal een sommetje maken.

g(x) = ²/_{(x - 7)}. Eerst en vooral moet je weten dat dat hetzelfde is als 2·¹/_(x-7). Je moet ook weten dat je een constante factor vóór het integraalteken mag zetten.
Krijgen we 2·ò¹/_{(x - 7)}dx
Als het goed is herken je de standaardintegraal ò¹/_xdx = ln|x| + c. Alleen staat er niet ¹/_x, maar ¹/_{(x - 7)}, dus we zullen die x - 7 moeten vervangen door een hulpvariabele. Laten we hulpvariabele u nemen, dan wordt u = x - 7. Maar we moeten ook rekeninghouden met die 'dx' achter het integraalteken, want als we een nieuwe functie in functie van u schrijven, dan moet er 'du' komen te staan i.p.v. dx, dus we moeten de "u-functie" differentiëren, krijgen we ^du/_dx = 1 en door kruisproduct te nemen weten we dat du = dx, en mogen we dx vervangen door du.

2ò¹/_udu = 2·ln|u| + c, maar u was x - 7, dus wordt primitieve 2·ln|x - 7| + c. Vergeet die "+c" trouwens niet bij onbepaalde integralen.

Zullen we er nog ééntje maken?

i(x) = ^-3/_(ln(10)·x), wederom kunnen we dit herschrijven als -3 · ¹/_(ln(10)·x), maar dat laatste kunnen we ook nog herschrijven, want ¹/_(ln(10)·x) = ¹/_ln(10)·¹/_x. Gecombineerd met de "-3" krijgen we ^-3/_ln(10)·¹/_x.

Nu primitiveren. ò^-3/_ln(10)·¹/_xdx = ^-3/_ln(10)·ò¹/_xdx (want ^-3/_ln(10) is gewoon een constante, typ maar 'ns in je rekenmachine in, en een constante mag voor het integraalteken gezet worden).
^-3/_ln(10)·ln(x) + c (want ò¹/_xdx is een standaardintegraal).

Een beetje herschrijven levert I(x) = ^-3·(ln|x|)/_(ln(10)) + c

Zoals je ziet valt die substitutiemethode mee, vooral veel mee oefenen.

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 7 juli 2003