De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Getallen reeksen met pi oneindig

Hoe komt het dat getallenreeks met pi er in (bijv. de Arctan, Leibniz en Euler) oneindig lang zijn ondanks dat de breuken uit simpele getallen bestaan?
bedankt

maren
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 13 mei 2003

Antwoord

Het kenmerk van een breuk is dat de decimalen óf op een bepaald moment stoppen óf dat ze gaan repeteren.
Van beide een voorbeeld:
bij 1/4 stopt het, want 1/4 = 0,25 en bij 1/7 gaat het repeteren, want 1/7 = 142857 142857 142857 ....

Omgekeerd: als je een getal opschrijft waarbij de deimalen gaan stoppen of repeteren, dan kun je er altijd een breuk van maken.

Men kan bewijzen dat het getal p een rij decimalen heeft die nooit stopt, maar ook nooit repeteert. Dat bewijs is overigens niet zo heel eenvoudig, maar dat doet voor jouw vraag niet ter zake.
Omdat de decimaalontwikkeling van p dus niet stopt en ook niet repeteert, weet je zeker dat het geen breuk is.
Maar dan moeten die getallenreeksen ook oneindig lang doorlopen, want als het maar een beperkt aantal mooie breuken zouden zijn, dan zou je ze 'eventjes' optellen en dan zou je als eindresultaat een breuk gevonden hebben die gelijk zou zijn aan p. En dat kan dus niet! Zie boven.

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 13 mei 2003



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3