De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Re: Kaartspel

 Dit is een reactie op vraag 88313 
Hallo en dank je wel voor je reactie.

Met 'kleur' bedoel ik schoppen, harten, ruiten of klaveren.
Een kaartspel heeft dus 4 kleuren, ik ken er geen andere term voor.

Dan de vraagstelling:

Ik trek dus 13 kaarten en wil weten hoe groot de kans is op aas, heer en vrouw in 1 kleur. Welke kleur dat is, is onbelangrijk evenals de volgorde.

Ik redeneer dus als volgt:

De eerste aas of heer of vrouw die ik trek, bepaalt de kleur en daarna zijn er nog 2 gunstige uitkomsten over.
De 1e formule geeft de kans op 1 uit 12 gunstige mogelijkheden (als ik het goed gedaan heb) en de 2e formule geeft de kans op 2 van 2 gunstige mogelijkheden, Waarbij ik ben uitgegaan van 51 kaarten in totaal.

Ik weet niet of deze redenering en de bijbehorende formules juist zijn. Ik hoop dat u hiermee voldoende duidelijkheid en info hebt.

Hans K
Iets anders - donderdag 18 juli 2019

Antwoord

In je eerste antwoord kan ik de $8!$, $7!$, $44!$, $12!$ en $32!$ niet plaatsen maar ik kan wel zien dat je dingen dubbel telt. In je noemer staat het aantal ongeordende grepen en in je redenering is in de teller sprake van een ordening (de eerste kaart ...) en dat leidt tot dubbeltellen vergeleken met de noemer.

Verder hou je ook geen rekening met een andere dubbeltelling: een hand met AHV (harten) en met AHV (schoppen) wordt twee keer geteld.

Het aantal mogelijkheden met AHV (harten) is gelijk aan $\binom{49}{10}$ (de overige tien uit de overige $49$ kiezen). Voor de andere kleuren is dat ook zo. Je zou denken dat je dan
$$4\times\binom{49}{10}
$$gunstige mogelijkheden hebt maar dan tel je dus dubbel. Als je AHV van twee kleuren wilt hebben kan dat op $\binom{46}{7}$ manieren. Er zijn zes paren kleuren, dus je moet
$$6\times\binom{46}{7}
$$aftrekken om dubbeltellingen te voorkomen.
Maar nu moet je weer
$$4\times\binom{43}{4}
$$optellen om handen met AHV in drie kleuren te tellen; dan moet er nog
$$1\times\binom{40}{1}
$$af om het te vaak tellen van de handen met AHV in alle kleuren op te heffen.
In totaal
$$4\times\binom{49}{10}-6\times\binom{46}{7}+4\times\binom{43}{4}-1\times\binom{40}{1}
$$gunstige mogelijkheden.
Zie ook het hieronder gelinkte artikel uit Pythagoras waar het hier gebruikte Principe van Inclusie-Exclusie wat uitgebreider wordt uitgelegd.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 23 juli 2019



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb