\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


De oppervlakte en inhoud van een tetraŽder

Ik had nog een aantal vragen over het berekenen van de oppervlakte van bijvoorbeeld de tetraŽder. Hoe berekenen ze de hoogtelijn dmv pythagoras? Er moet 1/2a√3 uitkomen....
Als je het grondvlak hebt berekend kan je de inhoud uitrekenen? Als grondvlak kwam ik uit op: 1/4a≤√3. Hoe reken je dan 1/2a√3∑1/4a≤√3∑1/3 uit? Klopt het dat dit 1/12a≥√3 wordt? Alvast heel erg bedankt!

Karin
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 25 februari 2003

Antwoord

De lengte van de ribben van zo'n tetraŽder is a.
De vraag is dan:
1. Hoe bereken je de oppervlakte?
2. Hoe bereken je de inhoud?

Eerst maar eens een tekening:

q7910img1.gif

1.
Laten we eerst eens naar het 'grondvlak' ABC kijken:

q7910img2.gif

h=√(a2-(1/2a)2)=√(3/4a2)=1/2a√3
De oppervlakte van deze gelijkzijdige driehoek is dan:
Opp.=1/2∑a∑1/2a√3=1/4∑a2∑√3
Dus de oppervlakte van de tetraŽder is 4∑1/4∑a2∑√3=a2∑√3
..en dat is toch aardig...

2.

q7910img3.gif

De hoogte h kunnen we berekenen in $\Delta$PST. PT=1/2a√3 (zie boven) en ST=h. Nu nog PS berekenen. Met behulp van het gegeven dat $\Delta$ABQ gelijkvormig is met $\Delta$ASP (ga na!) kan je PS berekenen.
PS=1/6∑a∑√3

h=√(PT2-PS2)=√((1/2a√3)2-(1/6a√3)2)=1/3a√6

Dus de inhoud van het tetraŽder wordt:
I=1/31/4a2√3∑1/3a√6=1/12∑a3∑√2
Wie is wie?
donderdag 27 februari 2003
©2004-2021 WisFaq