\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Wat is kwadraatafsplitsen?

Hallo WisFaq,
Zou je ook wat willen vertellen over kwadratisch afsplitsen, want daar snap ik echt helemaal nix van....

Annebe
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - woensdag 17 april 2002

Antwoord

Het idee van kwadraatafsplitsen is dat je het linker deel van een vergelijking als x2+8x-12=0 probeert te schrijven als een kwadraat en daar komt natuurlijk ook de naam vandaan. Maar een willekeurige drieterm schrijven als een kwadraat kan natuurlijk helemaal niet (altijd), want het zou toch wel heel toevallig zijn als x2+8x-12 precies het kwadraat zou zijn van een tweeterm.

Maar, we doen het lekker toch! Als je kijkt naar kwadraten van tweetermen, dan valt er toch iets op:

(x+1)2=x2+2x+1
(x+2)2=x2+4x+4
(x+3)2=x2+6x+9
Enz...

Algemeen:

(x+a)2=x2+2ax+a2

Het blijkt dat een kwadraat steeds bestaat uit een term met x2, het dubbelprodukt (van x en a) en a2. Deze 'wetenschap' kunnen we gebruiken om elke willekeurige drieterm te schrijven als een kwadraat (nou ja bijna dan!).

Voorbeeld

Als ik x2+8x-12 wil schrijven als een kwadraat zal het vanwege het dubbelprodukt 8x iets moeten worden als (x+4)2.
Maar (x+4)2=x2+8x+16 en dat lijkt wel op x2+8x-12 maar toch niet helemaal. Wat je dan doet is het achteraf 'goed praten', want als ik x2+8x-12 schrijf als (x+4)2-28 dan klopt het namelijk wel precies, kijk maar:

(x+4)2-28=x2+8x+16-28=x2+8x-12

En dat is dus kwadraatafsplitsen.

Blijft de vraag hoe kan je dat nou handig doen...? Want die -28 had je misschien zelf nog niet gezien.

Voorbeeld
Ik wil bij x2-10x+8 een kwadraatafsplitsen. Ik doe dat dan zo:

x2-10x+8=(x-5)2-25+8

Ik schrijf dus x2-10x als (x-5)2-25 (want die 25 die komt er dan bij, dus haal ik 'hem' er meteen van af, ga maar na!). Nu is -25+8=-17 dus:

x2-10x+8=(x-5)2-25+8=(x-5)2-17

En dat werkt altijd... kijk er maar eens goed naar.

Voorbeeld
x2-8x+19=(x-4)2-16+19=(x-4)2+3

Voorbeeld
x2-x+2=(x-)2-+2=(x-)2+1

Voorbeeld
x2+24x+144=(x+12)2-144+144=(x+12)2

Voorbeeld
x2+4x=(x+2)2-4 Zie Kwadraatafsplitsen

Wie is wie?
woensdag 17 april 2002
©2004-2019 WisFaq