\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


De coördinaten van de top berekenen

Er moet een formule bestaan voor de coördinaten van de top van een parabool. Ik weet wel hoe je de x-coördinaat van de top berekent, maar ik wil ook graag weten hoe je beide coördinaten van de top kan berekenen met een formule?
Bij voorbaat dank.

wilco
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 8 maart 2002

Antwoord

De coördinaten van de top van een parabool kan je herkennen aan de formule als je de formule schrijft in deze vorm:
f(x)=a·(x-p)2+q
De top van deze parabool is (p,q).

Voorbeeld:
Wat is de top van y=(x-2)2-4?
De top is (2,-4)

Voorbeeld:
Wat is de top van y=6·(x+4)2+11?
De top is (-4,11)

Tot zover geen probleem, neem ik aan. Maar ja meestal wordt het functievoorschrift van een parabool gegeven in deze vorm:
f(x)=ax2 + bx + c

Wat je dan kan doen is proberen de formule om te schrijven. Dit kan m.b.v. van kwadraatafsplitsen.

Voorbeeld:
Wat is de top van y=x2-4x+9?
y=x2-4x+9=(x-2)2-4+9=(x-2)2+5
De top is (2,5)

Voorbeeld:
Wat is de top van y=x2+3x-12?
y=x2+3x-12=(x+11/2)2-21/4-12=(x+11/2)2-141/4
De top is (-11/2,-141/4)

Dat was al iets moeilijker. Tot nu toe was a steeds gelijk aan 1, maar dat hoeft natuurlijk niet.

Voorbeeld:
Wat is de top van y=2x2+8x+14?
y=2x2+8x+14=2·(x2+4x)+14=2·((x+2)2-4)+14=2(x+2)2-8+14=2(x+2)2+6
De top is (-2,6)
Nou ja.. zo zou je nog uren door kunnen gaan. De vraag is of dit 'handig' is. Met behulp van de abc-formule is namelijk makkelijk in te zien dat:

Voor f(x)=ax2+bx+c:
xtop=-b/2a
ytop=axtop2+bxtop+c

Volgens mij gaat dat een stuk sneller. Je kan ook kijken naar de afgeleide. Bij de top is immers de afgeleide nul:
f(x)=ax2+bx+c
f '(x)=2ax+b
Wanneer is f '(x)=0?
Als 2ax+b=0
Dus als x=-b/2a
(o, nee dat wisten we al...)

Het is zelfs mogelijk (sommige mensen doen dat) het hele zaakje om te draaien!

Voorbeeld:
Schrijf f(x)=3x2-24x+121 in de vorm f(x)=a(x-p)2+q
xtop=24/6=4
ytop=3·42-24·4+121=73
Dus f(x)=3(x-4)2+73

Conclusie
Voor het berekenen van de coördinaten van de top van f(x)=ax2+bx+c gebruik je:
xtop=-b/2a
ytop=axtop2+bxtop+c

Of anders geformuleerd:

De coördinaten van de top zijn:

...om maar eens een kort verhaal lang te maken!
Wie is wie?
vrijdag 8 maart 2002
©2004-2018 WisFaq