Een combinatorische vraag

Ik heb een combinatorische vraag, het begint met een stukje calculus. Ik wilde namelijk de integraal van de k-de afgeleide van de n! functie evalueren(een oude combinatorische opgave), na wat eenvoudige calculus kom ik uit op de divariable recursieforumule : A(n,k) = nA(n-1,k)+ kA(n-1,k-1).

Ik dacht dat dit wel op de lossen zou zijn door het om te zetten tot een polynomiale vereglijking, waarbij ik dus A(n,k) als de coefficenten van een polynoom van graad n beschouw. In dit geval past het mooi, ik kom uit op P(n)= nP(n-1)+x²P'(n-1)+xP(n-1). Daarna kan het met een integrerende factor worden omgezet tot: xexp(-n/x)P(n)=x²( xexp(-n/x)P(n-1))', en na een substitutie van xexp(-n/x)P(n) = F(n) wordt de vergelijking : F(n) = x²F(n-1)', en deze is eenvoudig op te lossen, maar ik weet niet hoe ik de randvoorwaarden goed kan implementeren, en of de vereglijking wel juist is.

Mijn vraag is dus: of mijn OGF past bij mijn initiële probleem, en als dat het geval is hoe ik de randvoorwaarden goed kan invullen in mijn OGF?

groeten Jan

Jan
Student universiteit - woensdag 29 april 2020

Antwoord

Er zijn een paar dingen niet duidelijk voor mij: $n!$ is alleen voor natuurlijke getallen gedefinieerd; hoe wil je daar afgeleiden van nemen?
Of bedoel je de $\Gamma$-functie? Of bedoel je de differenties: eerste: $n!-(n-1)!$; tweede: $(n!-(n-1)!)-((n-1)!-(n-2)!)$, etc?
Wat stellen de $A(n,k)$ eigenlijk voor?
En waar is de $k$ gebleven in de $P(n)$?
En overigens: de `integraal' van de $k$-de afgeleide is gewoon de $k-1$ste afgeleide, toch en die heb je onderweg naar de $k$de al bepaald.

kphart
woensdag 29 april 2020

Re: Een combinatorische vraag

©2001-2024 WisFaq