Meetkunde translatie

Op de zijden van een willekeurige driehoek ABC worden naar buiten toe gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd. De centra hiervan noemen we M₁, M₂, en M₃. We gaan met behulp van isometrieën bewijzen dat driehoek M₁M₂M₃ gelijkzijdig is.

Definiëer R_p = R(M_p, 120) en beschouw de samenstelling
T:= R₁R₂R₃

Vraag 1:
Bewijs dat T (als samenstelling van deze drie rotaties) in principe een translatie is.

Vraag 2:
Onderzoek het beeld van B

Bra
Student hbo - dinsdag 21 april 2020

Antwoord

Hallo Bra,

Voor vraag 1:
De samenstelling van twee rotaties over $\phi_1$ en $\phi_2$ is een rotatie over $\phi_1 + \phi_2$, tenzij $\phi_1 +\phi_2$ een veelvoud is van 360°, dan is het een translatie. Met drie opeenvolgende rotaties van 120° is dat laatste het geval.

Voor vraag 2:
Omdat $M_1$ het midden is van de gelijkzijdige driehoek op zijde $BC$, is $\angle BM_1C = 120^\circ$. Dat betekent dat het beeld van $B$ onder $R_1$ gelijk is aan $C$. Ik krijg bij het samenstellen daarom achtereenvolgens $B \rightarrow C \rightarrow A \rightarrow B$.

Voor het bewijs:
Die translatie $T$ moet dus een nultranslatie zijn.

Kijk nu wat er gebeurt met $M_1$ in deze samenstelling. Bij $R_1$ gebeurt er niets, want $M_1$ is het centum. Vervolgens geeft de combinatie van de twee rotaties $R_2 \circ R_3$ dat $M_1$ heen en weer gaat naar een ander punt, zeg $N_1$. Kun jij achterhalen waarom $\Delta M_1M_2N_1$ en $\Delta N_1M_3M_1$ congruent zijn? Kom je zo bij het bewijs?

Met vriendelijke groet,

woensdag 22 april 2020

©2001-2024 WisFaq