Rekenregel exponentiële functie in R bewijzen

We weten dat de vergelijking a^r+s=a^r·a^s opgaat in $\mathbf{Q}$, met a element van de strikt positieve reële getallen en r en s element van $\mathbf{Q}$, maar hoe toon ik nu aan de hand van limieten van rijen dat dit ook opgaat in $\mathbf{R}$?

Margau
Student universiteit België - maandag 30 juli 2018

Antwoord

Dat hoeft niet noodzakelijk zo te zijn. Ik neem aan dat ook gegeven is dat de functie continu is. In dat geval neem je $x$ en $y$ in $\mathbb{R}$ en twee rijen rationale getallen, $(p_n)_n$ en $(q_n)_n$ met $x=\lim_np_n$ en $y=\lim_nq_n$. Wegens de continuïteit geldt nu $a^x=\lim_na^{p_n}$ en $a^y=\lim_na^{q_n}$, en ook $a^{x+y}=\lim_na^{p_n+q_n}$. Pas nu het gegeven toe op de machten $a^{p_n}$, $a^{q_n}$, en $a^{p_n+q_n}$.

Zie Pythagoras: Machtsverheffen voor gevorderden

kphart
maandag 30 juli 2018

©2001-2024 WisFaq