Limieten in symbolen

Hallo
In mijn cursus staan er heel wat definities m.b.t. limieten van rijen in symbolentaal. Een oefening zegt het volgende:
Geef een voorbeeld van een rij (x_n)nϵN in R die voldoet aan
voor alle $\epsilon>$ 0, bestaat een n₀ ϵ N, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n₀ $\Rightarrow$ |x_n+5| $<$ $\epsilon$
Er bestaat een n₀ ϵ N, voor alle $\epsilon>$ 0, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n₀ $\Rightarrow$ |x_n+5| $<$ $\epsilon$

Maar ik snap het verschil niet in notatie, waardoor ik dus ook niet een voorbeeld kan geven van zo'n rij...
Kan iemand me helpen?
Met vriendelijke groet
Julie

Julie
Student universiteit België - zondag 27 december 2015

Antwoord

Hallo

Ik begrijp sommige symbolen in je vraag niet, maar ik vermoed dat het gaat over een rij die nadert naar -5.

Bv.: x_n = ^-5n/_(n+1)

Voor n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... zijn de termen x_n -2.5, -3.33, -3.75, -4, -4.17, -4.29, -4.37 ...
Voor grotere waarden van n naderen de termen x_n steeds dichter naar -5.
We drukken dit uit door te zeggen dat voor grote waarden van n, de termen x_n steeds korter liggen bij -5
Of:
Als we n groter nemen dan een bepaald groot getal n₀, zal het verschil tussen x_n en -5 zeer klein worden, namelijk kleiner dan een willekeurig (klein) getal $\epsilon$
Of:
Voor alle (zeer kleine) positieve waarden van $\epsilon$, bestaat er een (grote) waarde voor n₀, zodanig dat als we n groter nemen dan n₀, het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan de zeer kleine waarde van $\epsilon$
Dus

'$\epsilon>$0:$n₀$\in$N₀:'n$\in$N₀:n$>$n₀ $\Rightarrow$|x_n-(-5)|$<\epsilon$

Dus $\epsilon$ is willekeurig, maar zeer klein (vandaar), n₀ hangt af van de gekozen $\epsilon$ (vandaar)

Wil je bv. hebben dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan 0.5(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 9 (= n₀), want x₁₀=-4.545
Wil je hebben dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan 0.3(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 15 (= n₀), want x₁₆=-4.706
Wil je hebben dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan 0.1(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 49 (= n₀), want x₅₀=-4.902
Maar hoe klein je $\epsilon$ ook neemt, je zult altijd een grote waarde voor n₀ vinden, zodanig dat voor alle n$>$n₀, zal gelden dat het verschil tussen x_n en -5 kleiner is dan $\epsilon$

Ok?

zondag 27 december 2015

Re: Limieten in symbolen

©2001-2024 WisFaq