\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Driehoek in twee delen gesplitst

Een driehoek is in twee delen gesplitst door een lijn die parallel loopt met de basis van de driehoek. Het driehoekige stuk A heeft een omtrek van 70 cm en een oppervlakte van 210 cm2. Het stuk B is een trapezium met een omtrek van 196 cm en een oppervlakte van 1680 cm2. Wat zijn de lengten van de zes lijnstukken in de figuur?

Hoe los ik dit op? Ik heb al van alles geprobeerd maar loop telkens vast. Wie kan me helpen?

S
Student hbo - zondag 27 september 2015

Antwoord

Hallo S,

Eens kijken. De oppervlakte van stuk B is achtmaal zo groot als van stuk A. Dus A+B samen negenmaal zo groot. Dat betekent dat de afmetingen van de grote driehoek $\sqrt{9}=3$ maal zo groot zijn als die van A. We krijgen een dergelijke figuur:

q76390img2.gif

De omtrek van deel A geeft a+b+c=70, de omtrek van deel B geeft 4a+2b+2c=196. Hieruit valt af te leiden dat a=28 en b+c=42.

Methode 1:
De kleine driehoek A heeft nu een basis van 28 en een oppervlakte van 210. De bijbehorende hoogte is derhalve 15.

De bijbehorende hoogtelijn verdeelt driehoek A in twee rechthoekige driehoeken en verdeelt de basis in twee stukken van x en 28-x. Zo krijgen we:

$x^2 + 15^2 = b^2\,\,\,\,\,[1]$
$(28-x)^2 + 15^2 = c^2 = (42-b)^2\,\,\,\,\,[2]$

Die onderste ([2]) is te herschrijven tot
$784 - 56x + x^2 + 15^2 = 1764 - 84b + b^2$

Trekken we daar [1] van af, dan houden we over:

$784 - 56x = 1764 - 84b$
$-56x = - 84b + 980$
$x = 1\frac{1}{2}b - 17\frac{1}{2}$

Substitueer nu deze uitdrukking voor x in [1]. De rest kun je zelf afmaken.

Methode 2:

We gebruiken nu de formule van Hero(o)n in de kleine driehoek A, dus met s=35 (halve omtrek) en a=28. Dit geeft het volgende.

$Opp=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$210=\sqrt{35(35-28)(35-b)(35-c)}$
$210^2=245(35-b)(35-c)$
$180=(35-b)(35-c)$
$bc-35(b+c)+1045=0$
$bc-35\cdot 42+1045=0$
$bc = 425$

We weten dus nu dat b+c=42 en bc=425.

Nu zijn x=b en x=c de oplossingen van (x-b)(x-c)=0, dus van

$x^2-(b+c)x+bc=0$
oftewel

$x^2-42x+425=0.$

Nu kun jij het afmaken. Er komen mooie oplossingen uit.

Groeten,

Zie Wat is de formule van Heroon?


zondag 27 september 2015

©2001-2024 WisFaq