\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Definitie afgeleide

Heb steeds alleen de antwoorden maar geen uitwerking hoe je zo een soort som op moet lossen.

Lim x$\to$0 (f(x+3)-f(3)/x) f(x)=5/x3
Het antwoord is: -5/27

Hopelijk kunnen jullie mij hiermee verder helpen!

Studen
Student universiteit - vrijdag 18 september 2015

Antwoord

Hallo Nina,

Het is een hoop cijferwerk...
De functie waarom het gaat, is:

q76311img1.gif

f(x+3) betekent dat we (x+3) moeten invullen op de plaats waar x staat. We krijgen dan:

q76311img9.gif

en zodoende:

q76311img3.gif

We brengen de breuken onder één noemer, zodat we deze kunnen aftrekken:

q76311img4.gif

In de teller werken we de haakjes weg, zodat we gelijksoortige termen 'bij elkaar kunnen nemen':

q76311img5.gif

Het termen +27 en -27 zijn tegen elkaar weggevallen. Dit gebeurt eigenlijk altijd wanneer je de definitie invult van een afgeleide.

Nu gaan we de definitie van de afgeleide invullen:

q76311img6.gif

Omdat de constante termen +27 en -27 zijn weggevallen, kunnen we teller en noemer delen door x:

q76311img7.gif

Nu staat x niet meer in de noemer, zodat we voor x straffeloos 0 kunnen invullen om de limiet voor x naar 0 te bepalen:

q76311img8.gif

Je ziet: een hoop cijferwerk, maar met netjes werken en stug volhouden kom je eruit.
OK zo?

PS: eigenlijk bepaal je f'(x) voor x=3. Volgens de rekenregels vind je voor f(x)=5x-3 als afgeleide: f'(x)=-15x-4. Als je invult x=3, dan vind je direct f'(3)=-5/27.
Ik ben ervan uitgegaan dat je dit antwoord moest afleiden met behulp van de definitie van de afgeleide, niet door het toepassen van rekenregels.


vrijdag 18 september 2015

©2001-2024 WisFaq