\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Goniometrische vergelijking

Goedenavond allemaal,

Ik kreeg een vraag van een vriend van me. Hij wil de volgende vergelijking oplossen, maar hij kwam er niet uit.

cos(2$\pi$t) = cos(1/6$\pi$t)
  • Bepaal de snijpunten tussen t = 0 en t = 3
Nu ben ik er eens voor gaan zitten maar ik kom er ook niet uit. Ik snap echt niet de aanpak om dit op te lossen.

Ik heb als eerste geprobeerd:
  • 2$\pi$t = 1/6$\pi$t
Dit oplossen geeft totaal niet wat volgens Wolframalpha de 6 oplossingen moeten zijn. Vervolgens heb ik geprobeerd om het volledig algebraisch op te lossen dus door de trigoniometrische functies toe te passen. Die cos(2$\pi$t) heb ik tijdelijk geschreven als cos(2t) = 2cos2(t)-1. Op deze manier liep ik ook vast omdat ik niets met die cos(1/6$\pi$t) kan doen.

Heeft iemand van jullie een idee hoe ik dit aan kan pakken?
Hartelijk dank alvast.

Jan
Student universiteit - donderdag 12 februari 2015

Antwoord

Hallo Jan,

Jouw eerste poging is wel goed, maar niet volledig:

Uit cos(2$\pi$t) = cos(1/6$\pi$t) volgt als eerste mogelijkheid:

2$\pi$t = 1/6$\pi$t + k2$\pi$

Hierin is k een geheel getal. De term k2$\pi$ geeft aan dat het argument van de cosinus ook een geheel aantal periodes groter of kleiner mag zijn. Immers, een cosinusfunctie is periodiek: na een geheel aantal periodes kom je op dezelfde waarde uit.

Uitwerken van deze vergelijking levert:

12t = t + 12k
11t = 12k
t = 12/11k

ofwel: t is een geheel aantal keer 12/11

Daarnaast is er nog een tweede mogelijkheid: omdat geldt:
cos(A) = cos(-A) kan ook:

2$\pi$t = -1/6$\pi$t + k2$\pi$

12t = -t + 12k
13t = 12k
t = 12/13k

We vinden dus als oplossingen:

t = 12/11k of t = 12/13k

OK zo?


donderdag 12 februari 2015

©2004-2021 WisFaq