\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vraag over grafiek door twee punten

Vraag over grafiek door twee punten
Beste WisFaq,

Stel er zijn twee vaste punten bekend (x1,y1) en (x2,y2).
Er loopt een rechte grafiek door deze lijn met vergelijking y=p+qx.
Ook loopt er een dal parabool door deze twee punten: y=a+bx+cx2.
Nou is het oppervlakte (primitieve) van de beide grafieken bekend volgens:
opp1=px+q/2 x2
opp2=ax+b/2 x2+c/3 x3
We weten daarnaast ook dat V = opp2 / opp1 in het punt (x2,y2).
We weten dus p, q sowieso maar nu de grote vraag:
Kunnen we ook a, b en c bepalen op basis van opp1, opp2 en V?

Extra:
De richtingscoŽfficiŽnt:
q=rc=(y2-y1)/(x2-x1)
Het intercept is:
p=int=y2-((y2-y1)/(x2-x1)) x2
Vergelijking van de rechte lijn tussen punt 1 en 2 wordt:
y=y2+((y2-y1)/(x2-x1 ))(x-x2)
De verhouding v van beide oppervlakte is bekend:
v=(ax+b/2 x2+c/3 x3)/(px+q/2 x2)

Rob de
Student hbo - vrijdag 17 oktober 2014

Antwoord

Hallo Rob en Onno,

Je hebt het over de oppervlakte in het punt (x2,y2), maar om een oppervlakte onder een grafiek te definiŽren zijn een linker en rechter grens nodig. Ik neem even aan dat je de oppervlaktes bedoelt tussen de y-as (x=0) en x=x2.
Dan zullen we eens een poging wagen om dit vraagstuk op te lossen:

De punten (x1,y1) en (x2,y2) zijn bekend. Je kunt dus de vergelijking van de rechte opstellen, en ook de oppervlakte bepalen onder deze lijn.
De verhouding V is bekend, dus je weet ook wat de oppervlakte moet worden onder de parabool. Dus: opp2 is bekend. Volgens mij waren jullie ook al zo ver.

We kunnen dan drie vergelijkingen opstellen:
  1. Parabool moet door (x1,y1):
    a + bx1 + cx12 = y1
  2. Parabool moet door (x2,y2):
    a + bx2 + cx22 = y2
  3. Integraal van kwadratische functie van x=0 tot x=x2 moet gelijk zijn aan opp2:
    a(x2) + b(x22/2) + c(x23/3) = opp2
Wanneer je de waarden voor x1, x2, y1, y2 en opp2 invult, krijg je drie vergelijkingen met alleen a, b en c als onbekenden. Dit stelsel zou oplosbaar moeten zijn.


maandag 20 oktober 2014

©2001-2023 WisFaq