\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Coefficienten van een veelterm bepalen

Gegeven de veelterm in C: √(z) = z4 + az3 + bz2 + cz + d = 0
(a, b, c en d reele coefficienten).
Gegeven:
- er bestaat juist één reeel geral x0 waarvoor √(x0)=0
- er bestaat een complex getal z1 gelegen op de eenheidscirkel, waarvoor √(z1) = 0
- de som van de wortels van de veeltermvergelijking √(z)=0, genomen met hun multipliciteit, is 2
- het product van de wortels van de veeltermvergelijking √(z) = 0, genomen met hun multipliciteit, is 9/4

Bepaal de coefficienten.

Ik weet door het voorlaatste en laatste gegeven dat a=-2 en d=9/4, en dat z1 en zijn complex toegevoegde een oplossing zijn en dat x0 ook een oplossing is, maar voor de rest loop ik vast... Kan iemand mij helpen?

Tom
Student universiteit België - donderdag 10 oktober 2013

Antwoord

Beste Tom (of Dries?),

Het complexe nulpunt dat op de eenheidscirkel gelegen is kan je voorstellen als $z=e^{it}$ en dan is het complex toegevoegde $z=e^{-it}$ ook een oplossing. Aangezien complexe oplossingen in complex toegevoegde paren voorkomen en er precies ¨¦¨¦n reëel nulpunt is, moet de multipliciteit van dat reële nulpunt (noem het p) 2 zijn. In ontbonden vorm is de gezochte veelterm dus te schrjven als
$$(z-p)^2(z-e^{it})(z-e^{-it}) = (z-p)^2(z^2-2z\cos t+1)$$Als je dit uitwerkt kan je de coëfficiënten die je reeds kent (-2 en 9/4) gelijkstellen aan de coëfficiënten die bij de betreffende machten van z komen te staan: dit geeft je een (eenvoudig) stelsel van twee vergelijkingen in p en t.

mvg,
Tom


donderdag 10 oktober 2013

©2001-2024 WisFaq