Re: Arctan

Dit is een reactie op vraag 68922

Met de driehoek ben ik het volledig met je eens. Maar het moest nu juist met de formule, kan het dan ook?

jan
Student hbo - woensdag 7 november 2012

Antwoord

Het kan mooi via de afgeleide functies.
Je zult inmiddels weten dat de afgeleide van f(x) = arctan(x) gegeven wordt door f'(x) = 1/(1+x²).
Wanneer je nu de functie g(x) = arctan(1/x) differentieert, dan zul je ontdekken (vooral wanneer je de kettingregel niet vergeet!) dat je precies het tegengestelde vindt, dus g'(x) = -1/(1+x²).
De optelsom van de afgeleiden is dus gelijk aan nul, hetgeen betekent dat de som van de functies een constante moet zijn.
Uit arctan(x) + arctan(1/x) = c vind je door bijv. x = 1 in te vullen dat
c = ¹/₂p.

Als je nog eens kijkt naar hetgeen je zelf als bewijs had gekozen, dan kom je er ook nog wel uit.
Je schreef: tan(arctan(x) + arctan(1/x)) bestaat niet omdat dan de noemer
1-x/x = 0 voorkomt en een noemer 0 kan niet.
Het feit dat de tangens niet bestaat, houdt (bij x0) in dat hetgeen 'achter de tangens' staat gelijk is aan ¹/₂p. Voor x0 treedt het op bij -¹/₂p.

MBL
maandag 12 november 2012

©2001-2024 WisFaq