Bewijzen ivm LO, LA, voortbrengendheid en basissen

Hallo,

Ik moet volgende dingen bewijzen, maar zou niet weten hoe ik eraan moet beginnen. Het zijn 2 bewijzen rond hetzelfde thema en die waarschijnlijk dan ook steunen op dezelfde stellingen
1. Bewijs dat een stel vectoren {a,b,...,n} (die een deelverz zijn van V) LA is als en slechts als men de nulvector 0 op minstens 2 manieren als een lineaire combinatie van deze vectoren kan schrijven.
2. Bewijs dat een stel vectoren {a,b,...,n} (die een deelverz zijn van V) LA is als en slechts als er een willekeurige vector P bestaat die men op minstens 2 manieren als een lineaire combinatie van deze vectoren kan schrijven.

Wie kan mij op weg zetten naar de juiste redenering?

Roel D
Student universiteit België - dinsdag 10 december 2002

Antwoord

Hoi,

Eerst een definitie:
Een stel vectoren v₁, v₂, ..., v_n is lineair afhankelijk (LA) als en slechts als er een combinatie a₁.v₁+a₂.v₂+ ... a_n.v_n=0 bestaat met niet alle a_i=0.

Stelling 1:
$\Rightarrow$: Uit de definitie vinden we dat er een combinatie bestaat met niet alle a_i=0. Een tweede lineaire combinatie die 0 geeft is die met alle a_i=0. Er zijn dus inderdaad minstens 2 manieren om 0 samen te stellen.
Ü: Als er twee manieren bestaan om 0 samen te stellen, dan moet er minstens één zijn waarbij niet alle coëfficiënten 0 zijn. Hiermee is dus aan de definitie van LA voldaan.

Stelling 2:
$\Rightarrow$: Uit stelling 1 kunnen we p=0 kiezen en is daarmee dit deel bewezen.
Ü: Als je een vector p kan schrijven als a₁.v₁+a₂.v₂+ ... a_n.v_n en b₁.v₁+b₂.v₂+ ... b_n.v_n waarbij niet voor alle i geldt dat a_i=b_i, dan is 0=p-p=(a₁-b₁).v₁+(a₂-b₂).v₂+ ... (a_n-b_n).v_n waarbij niet alle coëfficiënten a_i-b_i 0 zijn. We hebben dus een lineaire combinatie die 0 geeft, terwijl niet alle coëfficiënten 0 zijn.

Groetjes,
Johan

andros
donderdag 12 december 2002

©2001-2024 WisFaq