\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Re: Convergerende of divergerende integraal

 Dit is een reactie op vraag 56180 
Hallo,

Sorry, maar ik snap het nog steeds niet helemaal. Is het trouwens niet zo dat cos(x2+1)/x21/2x2 in plaats van ? En convergeert 1/(2x2) dan rond de oorsprong of niet?

En als je moet zeggen of een bepaalde functie convergeert of divergeert op , kijk je toch of de functie op een limiet nadert of juist niet. Waarom kijk je nu dan naar de oorsprong?

Tine A
Student universiteit - vrijdag 1 augustus 2008

Antwoord

Beste Tine,

Enkele voorbeelden om op je laatste vraag in te gaan:
- de integraal van 1/x met x van c tot + divergeert voor elke c,
- de integraal van 1/x2 met x van c tot + convergeert voor c0 maar divergeert als c=0.
Zo zie je dat de convergentie van een integraal, geļntegreerd tot +, niet alleen afhangt van het gedrag op +. Je moet ook naar singuliere punten kijken, dit maakt van de integraal ook een oneigenlijke integraal.

Bij jouw opgave is het 'probleem' hetzelfde als bij 1/x2: de functie wordt snel genoeg klein om te convergeren op oneindig, maar het punt x=0 strooit roet in het eten.

Wat de zin van die afschatting betreft: om convergentie aan te tonen zoek je een convergente majorant (naar boven afschatten), om divergentie aan te tonen een divergente minorant (naar onder afschatten).

Omdat cos(1+x2) (voldoende dicht) rond x=0 kleiner groter is dan 1/2, geldt: cos(1+x2) 1/2 Ž cos(1+x2)/x2 1/(2x2)

Voor de convergentie van die laatste integraal, onderzoek wat de oneigenlijke integraal voor x van 0 tot e0 van 1/(2x2) doet.

mvg,
Tom


vrijdag 1 augustus 2008

 Re: Re: Re: Convergerende of divergerende integraal 

©2001-2024 WisFaq