Zichtbaar deel van het aardoppervlak

Ik zit met volgend probleem (dat te maken heeft met mantelopp.): de aardstraal is R. Welk deel van het aardoppervlak ziet men vanuit hoogte X? Pas dit toe voor R=6366 km en X=80m (de numerieke oplossing dient afgerond 3200 vierkante km op te leveren);

bij voorbaat dank;

Tom
3de graad ASO - woensdag 26 maart 2008

Antwoord

Ik noem het middelpunt van de aarde M.
We staan op een toren met hoogt X.
De top van de toren is het punt T en het voetpunt van de toren is V.
Een zichtlijn vanuit T raakt het aardoppervlak in H.
Driehoek TMH is rechthoekig in H.
TM=R+X en HM=R.
Dan cos(ÐTMH)=R/(R+X).
Voor kleine X is de oppervlakte van de bolkap die je zoekt vrijwel gelijk aan die van een cirkel met straal VH.
Laat P de projectie zijn van H op VM, dan is PH weer vrijwel gelijk aan VH.
PH=R*sin((ÐTMH)=R*Ö(1-R²/(R+X)²).
De oppervlakte van de cirkel met straal PH is pR²(1-R²/(R+X)²)
Invullen van R=6366 en X=0.08 levert 3199.84, afgerond dus 3200.

woensdag 26 maart 2008

©2001-2024 WisFaq