Differentiaalvergelijking opstellen

hallo
de DV
d(h)/d(t)= r²/R² . √(2.g.h(t)) met t$\geq$ o

dit is de niet verder uitgewerkte DV van de situatie: een vat met vleoeistof (water) leeg laten lopen.
ik vroe mij af hoe deze DV is ontstaan. hoe is die opgesteld?
bij voorbaat dank

eva
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 16 februari 2008

Antwoord

Je hebt een rond vat (straal R) gevuld met water (waterhoogte h).
Onderin het vat zit een gaatje (straal r) waar het water uitstroomt. Daardoor is de waterhoogte h niet constant maar afhankelijk van de tijd.
Dus h=h(t)

De uitstroomsnelheid uit het gaatje hangt af van de waterhoogte. En is te berekenen uit energiebehoud E_zwaarte=E_kinetisch $\Leftrightarrow$
m.g.h = ¹/₂.m.v² $\Leftrightarrow$ g.h = ¹/₂.v² $\Leftrightarrow$ v=√(2.g.h)
En eigenlijk v(t)=√(2.g.h(t))

Nu geldt dat de volumeverandering in de tijd van het water in het vat
gelijk moet zijn aan de hoeveelheid water die per tijdseenheid uit het gaatje stroomt:
oppervlaktevat.dh/dt = oppervlaktegaatje.v_uitstroom $\Leftrightarrow$
$\pi$R².dh/dt = $\pi$r².√(2.g.h(t)) $\Leftrightarrow$
dh/dt = (r²/R²).√(2.g.h(t))

groeten,
martijn

mg
zaterdag 16 februari 2008

©2001-2024 WisFaq