\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Re: Bewijs uitbreiding stelling van Rolle

 Dit is een reactie op vraag 53375 
Ik heb geprobeerd de oefening te bewijzen met je uitleg.
Hier is mijn bewijs:
Bewijs(mbv volledig inductie)
1: Basisstap: de bewering klopt voor n=0.
Voor n=0 is dit namelijk de stelling van Rolle en dus is
f(0+1(c) = 0
2: Inductiestap:stel de bewering is waar voor een zekere
mÎ
dÎ[a,b] met f(m+1)(d)=0
(Inductiehypothese)

Gegeven is dat f(k)(a)=0 voor allek=1,2,..,n
We kunnen nu de stelling van Rolle toepassen op de
functie f(m+1) over het interval [a,d].
Volgens de stelling van Rolle geldt dan:
Er bestaat een cÎ[a,d] met f(m+2)(c)=0.
Op grond van het principe van volledig inductie kunnen
we dus besluiten dat onder de gegeven voorwaarden uit
de opgave er een cÎ[a,b] bestaat met
f(n+1)(c)=0.

Dit is mijn bewijs. Is dit correct?
Ik vraag mij ook iets af:
in mijn bewijs schrijf ik "Gegeven is dat f(k)(a)=0 voor allek=1,2,..,n. We kunnen nu de stelling van Rolle toepassen op de functie f(m+1) over het interval [a,d]."
Mag dit? of moet f(k+1)(a)=0 voor alle k=1,2,..,n gelden opdat je dit zou mogen zeggen?

Joeri
Student universiteit - donderdag 6 december 2007

Antwoord

Je inductieveronderstelling is dat voor elk interval [p,q] en elke n+1 vaak differentieerbare functie g op [p,q] met g(k)(p)=0 voor k=0,1,2,...,n en g(q)=0 een c in (p,q) bestaat met g(n+1)(c)=0.
Dan neem je een interval [a,b] en een functie f op [a,b] die n+2 vaak differentieerbaar is en die voldoet aan f(k)(a)=0 voor k=0,1,2,...,n+1 en f(b)=0. Je vindt dan, via de inductieveronderstelling toegepast op [a,b] en f, een c in (a,b) met f(n+1)(c)=0. Dan pas je Rolle toe op [a,c] en f(n+1).
Je bewijs was correct op de regel na die je zelf al aanstipt; je oplossing is niet goed. Bij de inductie stap vervang je n door n+1, dus het gegeven wordt zoals ik het hierboven schreef: f(k)(a)=0 voor k=0,1,2,...,n+1

kphart
woensdag 12 december 2007

©2001-2024 WisFaq