Oplossing homogene DV uitwerken volgens stelling van Euler

Ik heb een oplossing welke volgens mij met de stelling van Euler uitgewerkt dient te worden. Het gaat om de volgende stelling: ýhom(t)= a1.e^(-2+j2).t + a2.e^(-2-j2).t Dit geeft als antwoord:
Yhom(t) = A. e^(-2t) .sin(2t+F)
Ik zie niet in hoe deze uitwerking tot stand komt. Kan iemand mij helpen?

Arnold
Student hbo - maandag 22 oktober 2007

Antwoord

Met

e^(jx) = cos x + j sin x

krijg je inderdaad al snel een uitdrukking van de vorm

e^(-2t)(b1 cos(2t) + b2 sin(2t))

Hoe je die laatste uitdrukking omvormt tot een enkele sinusoide met faseverschuiving heb je vroeger vast wel geleerd...

PS: Het is belangrijk hier in te zien dat je met "gevoel" al ver geraakt. Zo zijn de constanten A en f wel functies van a1 en a2, maar hoe ze zich precies verhouden maakt niet uit. a1 en a2 zijn toch maar constanten die je door invulling van randvoorwaarden zal bepalen, en met A en f zal je precies hetzelfde doen. Het enige wat telt is dat je de twee vrijheidsgraden in de oorspronkelijke vergelijking hebt behouden. Merk trouwens op dat de constanten in principe complexe constanten zijn. Als de functie eigenlijk reeel is, zullen ze in de oorspronkelijke vorm complex toegevoegd zijn, in de "reele" vorm zijn de constanten dan ook reeel zijn.

maandag 22 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq