Terwijl de colonne in regelmatig tempo voortdreunt...

Een legerschaar van 50 km lang marcheert naar het front. Terwijl de colonne in regelmatig tempo voortdreunt, vertrekt aan de staart van de stoet een koerier te paard. Hij rijdt naar voor om een boodschap over te brengen aan de voorste aanvoerder en keert dan terug naar zijn plaats achteraan de troep. Hij komt terug op het moment dat de colonne zelf 50 km is verder gekomen. Hoe groot is de afstand die de koerier in totaal aflegde?

Het antwoord is 120 km, maar we hebben geen idee hoe aan de berekening ervan te beginnen...

Anneke
Student hbo - maandag 21 oktober 2002

Antwoord

Wel, ik heb een manier om het uit te rekenen, maar dan kom ik op 120,7km uit. Ik hou me aanbevolen voor elegantere oplossingen...

noem t₁ de tijd voor de koerier om de kop te bereiken, en t₂ de tijd om van de kop terug naar de staart te gaan.
Bij het lopen naar de kop, loopt de koerier als het ware met de colonne mee, en daardoor is de relatieve snelheid (dus t.o.v. de 50 km lange colonne)
v_k-v met v_k de snelheid van de koerier t.o.v. de weg, en v de snelheid van de kolonne t.o.v. de weg.

t₁ is dus 50/(v_k-v)

Terug naar de staart, loopt de koerier tegen de stroom in, en de relatieve snelheid is nu v_k+v
En dus is

t₂ = 50/(v_k+v)

Wat we zeker weten, is dat de colonne in de tijd t₁+t₂, 50 km verder is gekomen.
Dus wegens snelheid · tijd = afstand, is
v.(t₁+t₂)=50 $\Leftrightarrow$
v.(50/(v_k-v) + 50/(v_k+v))=50 $\Leftrightarrow$
v.(1/(v_k-v) + 1/(v_k+v))=1 $\Leftrightarrow$
... $\Leftrightarrow$
(2.v.v_k)/(v_k²-v²)=1 $\Leftrightarrow$
v_k² - 2.v.v_k - v²=0

Deze laatste moet je bekijken als een vierkantsvergelijking met als variabele v_k. Deze los je op mbv de wortelformule:

v_{k 1,2}= (2v ± √(8v²))/2 = v±v√2

Hierbij doet alleen de + oplossing ertoe, anders is
v_k < v , en kan de koerier nooit de colonne bijhouden.
$\Rightarrow$ v_k=v+v√2=v(1+√2)

de door de koerier afgelegde weg s:

s=v_k(t₁ + t₂)
=v(1+√2).(1/v√2 + 1/(2+√2)v).50
=(1+√2)/√2 + (1+√2)/(2+√2)).50

In de 1e term teller&noemer met √2 vermenigvuldigen, en in de 2e term teller en noemer met (2-√2).

Dit levert
(½√2 + 1 + ½√2).50 = (1+√2).50 @120 km

groeten,
martijn

mg
donderdag 24 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq