\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Differentiaalvorm met `gaten`

Beste allemaal,

Kunt U mij helpen met onderstaande vraag:

"Als w een differentiaalvorm is op een verzameling met een of meer 'gaten', dan kan het gebeuren dat w niet exact is terwijl wťl aan de voorwaarde p/y=q/x voldaan is.
Laat zien dat w=y/(x2+y2)dx - x/(x2+y2)dy aan deze voorwaarde voldoet, maar niet aan de eigenschap dat de integraal van w over een gesloten kromme altijd gelijk aan 0 is. Integreer maar over de cirkel x2+y2=1. Verklaring: de functies die w definiŽren zijn netjes op {(x,y)ő2 en (x,y)Ļ(0,0)}, een verzameling met gat (de oorsprong)."
Bedankt voor de hulp!

Saar
Student universiteit - zondag 26 november 2006

Antwoord

Ik denk dat de vraag zichzelf al heel behoorlijk uitlegt: er zijn op het vlak-minus-de-oorprong niet-exacte differentialvormen pdx+qdy die wel aan de eis op de partiŽle afgeleiden voldoet.
Het voorbeeld staat er al; je hoeft alleen nog maar y/(x2+y2) naar y en -x/(x2+y2) naar x te differentiŽren (en zien dat de antwoorden gelijk zijn). Verder moet je die vorm over de eenheidscirkel integreren (en zien dat er geen nul uit komt).

kphart
zaterdag 9 december 2006

©2004-2019 WisFaq