Uitgebreid viervlak en raakbollen

Als alle zijden ln alle richtingen worden uitgebreid, wordt de ruimte verdeeld. Hierin zijn aangeschreven bollen en dakbollen mogelijk en nog een soort raakbol. Is daar een goede tekening van?
(Zie Leerboek der Stereometrie, Dr. P. Molenbroek)

Frank
Iets anders - donderdag 24 augustus 2006

Antwoord

Beste Frank,

De middelpunten van de raakbollen van een viervlak kun je als volgt vinden:
1. Twee zijvlakken van een viervlak hebben een tweetal bissectricevlakken, die de meetkundige plaats vormen van de punten die even ver van beide vlakken afliggen. Net als bij bissectrice-lijnen staan deze loodrecht op elkaar.
2. Als je drie tweetallen zijvlakken neemt waarin alle vier zijvlakken zijn vertegenwoordigd, en telkens een bissectricevlak kiest, dan vind je (behoudens speciale gevallen) een snijpunt. Dat snijpunt ligt even ver van alle vier vlakken van het viervlak. De andere tweetallen bissectricevlakken hebben dan ook een bissectricevlak door dat snijpunt.

Er zijn dus maximaal 2³=8 middelpunten van die bollen. Vijf daarvan zijn de middelpunten van de in- en aangeschreven bollen. De drie overige kunnen we vinden in de dakruimtes, die ook door vier vlakken worden begrensd en met het oorspronkelijke viervlak een ribbe gemeenschappelijk hebben.

Twee tegenoverelkaar gelegen dakruimtes (dus de een heeft bijvoorbeeld AB en de ander CD als gemeenschappelijke ribbe met viervlak ABCD) hebben (hoogstens) 1 dakbol.

Dat kun je op de volgende manier begrijpen:
Neem een bissectricevlak U van de vlakken V en W. Neem twee punten P en Q op U die aan weerskanten van de snijlijn van V en W liggen. De bol met middelpunt P die V raakt, raakt V van de andere kant dan de bol met middelpunt Q die V raakt. Hetzelfde voor U.

Merk nu op dat een dakruimte door de vier vlakken precies aan de andere kanten worden begrensd dan de tegenoverliggende dakruimte.

zaterdag 2 september 2006

©2001-2024 WisFaq