Toon aan of deze integraal convergent of divergent is

Hallo,
De opgave luidt: Toon aan of ò1/( x+e^(-2x) ) dx op interval 1 tot oneindig convergent of divergent is.

Ik kan geen enkele zinnige substitutie vinden: geen gewone, geen goniometrische. Breuksplitsen gaat niet. Met berekenen kan ik de divergentie/convergentie dus niet aantonen.
Ik dacht aan het volgende:
We vergelijken dan de grafieken van y=1/x (=grafiek 1) met de grafiek van y=1/(x+e^(-2x)) (=grafiek 2)
Voor x=1 vinden we in beide gevallen y=1, een snijpunt dus.
We weten dat de integraal van y=1/x voor x naar oneindig divergent is.
Grafiek 2 ligt wel onder grafiek 1, en de integraal zou theoretisch dus wel convergent kunnen zijn, maar we zien dat, als x naar oneindig nadert, dat de waarde van e^(-2x) in de noemer dramatisch snel naar 0 nadert. Grafiek 2 nadert dus asymptotisch naar grafiek 1 en de integraal moet dus eigenlijk ook wel divergent zijn.
Wat vinden jullie van deze redenering? Eigenlijk vind ik hem zelf niet waterdicht.
Ik ben benieuwd hoe dit nu te bewijzen is. (Hoewel in de vraag alleen AANTONEN staat)

Vriendelijke groeten,
Gerrit

Gerrit
Student hbo - donderdag 22 september 2005

Antwoord

Je bent op de goede weg: dat e^(-2x) naar nul is de belangrijke opmerking.
Je kunt je functie inderdaad met 1/x vergelijken door ze op elkaar te delen; de limiet van het quotiënt (1/x)/(1/(x+e^(-2x)) is 1 en dat betekent dat hun integralen allebei convergeren of allebei divergeren. Die van 1/x is divergent dus de jouwe ook.
Alternatief: vanaf x=1 geldt x+e^(-2x)2x, dus je functie is groter dan 1/(2x) en die heeft een divergente integraal.

kphart
vrijdag 23 september 2005

©2001-2024 WisFaq