Convolutie bij Laplace

bij het oplossen van dif. vgl. via de laplacetransformatie wordt er gesproken over convolutie. Maar wat betekend dit juist? Er wordt bijvoorbeeld gezegd dat het vinden van de particuliere oplossing zich herleidt tot het vinden van de relatie tussen de functies f(t) en g(t). De definitie wordt gegeven via een integraal: f(t)*g(t) = òf(t-u)g(u). (integraal tussen 0 en t).
Toegepast op sin(t)*e^t zou dit als resultaat 1/2 (e^t-sin(t) - cos(t)) moeten geven? maar hoe kom ik hieraan?
alle hulp is welkom, want hier snap ik werkelijk niets van

alvast bedankt
dennis

dennis
Student Hoger Onderwijs België - maandag 8 augustus 2005

Antwoord

Goeiedag

Het ware natuurlijk handig geweest mocht je de desbetreffende differentiaalvergelijking vermeld hebben, maar we trekken onze plan. Wat convolutie precies is, zeg je zelf al:

f(t)*g(t) = ò^t₀ f(t-u)g(u) du

Er bestaat een heel handige eigenschap ( * = convolutie ):

L [ f(t) * g(t) ] = L [ f(t) ] . L [ g(t) ]

Hieronder toon ik aan dat de convolutie van f(t) met g(t), met f(t)=sin(t) en g(t)=e^t, gelijk is aan jouw gegeven resultaat. In de eerste overgang wordt gebruik gemaakt van de eerder vermelde eigenschap:

L [ sin(t) * e^t ]
= L [ sin(t) ] . L [ e^t ]
= ¹/_(p²+1) . ¹/_(p-1)

sin(t) * e^t
= L^-1 [ L [ sin(t) * e^t ] ]
= L^-1 [ ¹/_(p²+1) . ¹/_(p-1) ]
(inverse laplace uitrekenen)
= ¹/₂ ( e^t - sin(t) - cos(t) )

Hopelijk is het nu wat duidelijker! De werkelijke (niet louter wiskundige) betekenis van de convolutie-integraal is redelijk abstract en moeilijk te begrijpen zonder praktijkvoorbeelden. Het wordt onder andere gebruikt in systeemtheorie en statistiek.

Groetjes

Igor
dinsdag 9 augustus 2005

©2001-2024 WisFaq