Bewijs parametervoorstelling cycloïde

Hoe toon ik aan dat een gewone cycloïde als parametervoorstelling heeft :
x = a (t - sin(t )), y = a (1 - cos(t )) ?

Mar
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 22 mei 2005

Antwoord

Daarvoor moet je je eerst een idee vormen van wat een cycloide precies is.
Een gewone cycloide is de baan van een punt op een cirkel die rolt zonder glijden. Dus als de cirkel een volledige omtrek gerold heeft, komt het punt een volledige omtrek verder weer op de grond (op de x-as).
We nemen aan dat de cirkel naar rechts rolt (in wijzerzin). Een parametervoorstelling van een punt dat op een cirkel met straal a en middelpunt (0,a) beweegt in wijzerzin is:
x=-a sin(t)
y=a-a cos(t)

Als t gaat van 0 naar 2p dan heeft het punt een volledig cirkel beschreven.

Nu hebben we dus het punt op de cirkel...Alleen, die cirkel staat nu nog stil. We moeten er nog voor zorgen dat de x-coördinaat na een volledige tour op de cirkel ( t gaat van 0 naar 2p) een volledige omtrek van de cirkel verder zijn. Dus moeten we bij de x-coördinaat a*t optellen (als t=2p dan is a*t= de omtrek van de cirkel.)

We bekomen dan:

x=at-a sin(t)=a(t-sin(t))
y=a-a cos(t)=a(1-cos(t))

Koen

zondag 22 mei 2005

©2001-2024 WisFaq