Sommatie met twee variabelen
Ik heb een som waar ik absoluut niet uitkom, aangezien er twee variabelen (een k en een n) in gebruikt worden. Hoe kan ik dit oplossen? De som is: åk=1 & (n-1) (staat boven het sigma teken) van k3/n2. Ik weet al wel dat de sommatie aan de bovenkant van de breuken in de vorm is van: 13 + 23 + ...3 + (n-2)3 + (n-1)3. Hoe moet ik nu het deel onder de breukstreep doen?
Groetjes Ernst
Ernst
Student universiteit - vrijdag 12 november 2004
Antwoord
Hallo Ernst,
Misschien ken je volgende eigenschap:
åk=1n k3
= 1+8+27+...+n3
= n2(n+1)2/4
Als je die eigenschap niet kent kon je ze vrij eenvoudig vinden door n achtereenvolgens 1,2,3,4,5 te nemen, het valt dan wel erg op dat daar telkens kwadraten staan van achtereenvolgens 1,3,6,10,15 en dat is de rij n(n+1)/2.
De formule zelf kan je bewijzen via volledige inductie.
Wat betekent nu åk=1n k3/n2 ? Wel, die 1/n2 is eigenlijk een constante factor, dat is voor elke term uit de sommatie dezelfde. Dus die mag je voorop plaatsen, en je krijgt dus:
1/n2 · åk=1n k3
= 1/n2 · n2(n+1)2/4
= (n+1)2/4
En je kan nagaan dat dit klopt: voor n=1 staat er
13/12=(1+1)2/4
n=2: 13/22 + 23/22 = (2+1)2/4
n=3: 13/32 + 23/32 + 33/32 = (3+1)2/4
enzovoort.
Groeten,
Christophe.
Christophe
zaterdag 13 november 2004
©2001-2024 WisFaq
|