\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Differentiaalvergelijking

hoe los ik volgende differentiaalvergelijking op?
(dy/dx) + y = x + 1

Natali
Student universiteit België - zaterdag 21 augustus 2004

Antwoord

Beste Natalie,

y'(x) + y(x) = x + 1

Laten we beide leden vermenigvuldigen met een nog onbekende functie g(x), dus

y'(x)·g(x) + y(x)·g(x) = x·g(x) + g(x)
Laten we 't linkerlid herschrijven, zodat de productregel opvalt
y(x)·g(x) + g(x)·y'(x) = x·g(x) + g(x)
opdat (y(x)·g(x))' = y(x)·g'(x) + g(x)·y'(x) geldt, moet g(x) = g'(x) oftewel g'(x)/g(x) = 1, [g(x)¹0, is wel een oplossing] aan beide kanten integreren levert ln|g(x)| + c = x + d waarbij c en d integratieconstanten. Dus ln|g(x)| = x + f (waarbij f = d - c). Dus g(x) = ±ex+f.

We mogen zelf kiezen of we de positieve of negatieve waarde kiezen, en welke waarde we voor f kiezen. Laten we het gemakkelijk houden en g(x) = ex kiezen.

(y(x)·ex)' = xex + ex

Beide leden integreren naar x levert

y(x)·ex + g = ò(xex + ex)dx
y(x)·ex + g = xex - ex + ex + h (g,h Î ).
Om òxexdx te bepalen moet je gebruik maken van partieel integreren, die regel gaat als volgt òf(x)·g'(x)dx = f(x)·g(x) - òf'(x)·g(x)dx waarbij f(x) = x en dus f'(x) = 1 en g'(x) = ex en g(x) = ex.

y(x) = xex + p/ex waarbij p = h - g.

y(x) = x + p/ex


y(x) = x + pe-x


Ter controle y'(x) = 1 + p·(-1)e-x dus y'(x) = 1 - pe-x

y'(x) + y(x) = 1 - pe-x + x + pe-x = x + 1. Klopt!

Groetjes,

Davy.


zaterdag 21 augustus 2004

©2001-2024 WisFaq