\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Afgeleide van de sinus, cosinus en tangens

Ik moet nog even de laatste hand leggen aan mijn profielwerkstuk. Het enige wat ik nog nodig heb zijn de bewijzen dat:

f(x)=sin x $\to$ f'(x)=cos x
f(x)=cos x $\to$ f'(x)=-sin x
f(x)=tan x $\to$ f'(x)= 1/cos2 x = 1+tan2 x

Als jullie mij hierbij zouden kunnen helpen zou ik dat zeer op prijs stellen. Ik heb namelijk al aardig wat internetpagina's bekeken, maar niets kunnen vinden.

Henk v
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 16 juni 2004

Antwoord

Beste Henk,

Dit doen we via de limietdefinitie van de afgeleide. Als voorbeeld de afgeleide van de sinus. We krijgen:

q25472img1.gif.

Gebruikmakend van de verdubbelingsformule voor de cosinus weten we dat cos(x) = 1-2sin2(x/2), zodat sin(x)cos(h)-sin(x) = -2sin2(h/2)sin(x). Uit de standaardlimiet

q25472img3.gif

zien we (met enige moeite) dat als h$\to$0 dan ook sin(x)cos(h)-sin(x)/h$\to$0.

We houden over:

q25472img2.gif.

Voor de laatste stap gebruiken we weer de standaardlimiet.
Voor cos(x) doe je net zoiets, en voor tan(x) gebruik je de quotiëntregel.

Nawoord: ik ben dank verschuldigd aan een vragensteller die op een fout wees in de eerste versie van dit antwoord. Hij suggereerde een andere manier om te laten zien dat (cos(h) - 1)/h$\to$0 voor h$\to$0:
vermenigvuldig de teller en noemer van (cos(h) - 1)/h met (cos(h) + 1) en maak gebruik van de identiteit sin2(h) + cos2(h) = 1.

Ook had hij nog een suggestie voor een alternatief: maak gebruik van de formule van Simpson voor sin(p) - sin(q) om de limiet van het differentiequotiënt te bepalen. Je hebt dan alleen nodig dat de limiet van sin(h/2) / (h/2) voor h$\to$0 gelijk is aan 1.


woensdag 16 juni 2004

©2001-2024 WisFaq