\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Bewijs dat in elke pythagoras driehoek minstens 1 zijde een vijfvoud is

 Dit is een reactie op vraag 16347 
kan het ook eenvoudiger?
Ik zit in de 2e havo/vwo en ik begrijp deze lap tekst niet helemaal!

meliss
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - dinsdag 3 februari 2004

Antwoord

Beste Melissa,

Ik zal het proberen in onderbouw HV taal opnieuw uit te leggen.

Het verhaal "modulo 5" betekent dat je alleen kijkt naar de rest bij deling door 5. Als een getal N een vijfvoud is plus 2, dan zeggen we dat N=2 modulo 5.

We hebben nu 5 mogelijkheden voor een getal modulo 5, en we kijken hoe het met het kwadraat zit:
  1. Het getal N=0 modulo 5, dus N is een vijfvoud, oftewel N=5n. Dan is N2=(5n)2=52·n2 ook een vijfvoud, dus N2=0 modulo 5,
  2. N=1 modulo 5, dus N=5n+1 en N2=(5n+1)2=25n2+10n+1 is een vijfvoud plus 1, dus N2=1 modulo 5,
  3. N=2 modulo 5, dus N=5n+2 en N2=(5n+2)2=25n2+20n+4 dus N2=4 modulo 5
  4. N=3 modulo 5, dus N=5n+3, en N2=(5n+3)2=25n2+30n+9 is een vijfvoud plus 4, dus N2=4 (mod 5)
  5. N=4 modulo 5, dus N=5n+4 en N2=(5n+4)2=25n2+40n+16 en dus N2=1 modulo 5.
Zoals je ziet komen alleen N2=0,1 en 4 modulo 5 voor.

Terug naar de vraag: stel we hebben een Pythagoras-driehoek (zijden hebben helen als lengte) dan zou er minstens 1 vijfvoud bij moeten zijn. We gaan kijken of we zonder een vijfvoud een Pythagoras-driehoek kunnen maken, en laten zien dat dat niet lukt.

Voor de twee rechthoekszijden zijn er modulo vijf nu maar drie mogelijkheden, er mag geen 0 bij zitten:
  • 1+1=2 modulo 5, maar 2 kan niet bij een kwadraat horen,
  • 4+4=8=3 modulo 5, maar 3 kan ook niet bij een kwadraat horen,
  • 1+4=5=0 modulo 5, maar daan is de schuine zijde een vijfvoud.
Je ziet dat de pogingen om Pythagorasdriehoeken te maken zonder een vijfvoud allemaal mislukken. We hebben alle mogelijkheden geprobeerd. Dus kennelijk moet er altijd een vijfvoud tussen de zijden zitten.


dinsdag 3 februari 2004

©2001-2024 WisFaq